Question

14．如图，已知抛物线y₁=$\frac{1}{3}{x}^{2}$+bx+c和直线y₂=kx+h都经过A（1，0），B（-2，3）两点．
（1）求抛物线y₁及直线y₂的解析式；根据图象，写出$\frac{1}{3}{x}^{2}$+bx+c≥kx+h的x的取值范围．
（2）点P是抛物线上一动点，在直线AB的下方，当点P与点A、B围成的△PAB的面积最大时，请求出P点坐标；
（3）抛物线上是否存在一点M，使△MAB的面积与△OAB相等？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由抛物线和直线均过点A、B，由待定系数法即可求出二者的解析式；
（2）寻找与直线AB平行的直线l，使l与抛物线相切于点P时，△PAB的面积，由△=0可求出直线l的解析式，代入即可求出P点的值；
（3）假设存在，由△MAB的面积与△OAB相等可知点M与点O到直线AB的距离相等，结合点到直线的距离即可求出点M的坐标．

解答 解：（1）∵抛物线y₁=$\frac{1}{3}{x}^{2}$+bx+c和直线y₂=kx+h都经过A（1，0），B（-2，3）两点，
∴有$\left\{\begin{array}{l}{0=\frac{1}{3}+b+c}\\{3=\frac{4}{3}-2b+c}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{0=k+h}\\{3=-2k+h}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{2}{3}}\\{c=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{h=1}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式为y₁=$\frac{1}{3}{x}^{2}$-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$，直线的解析式为y₂=-x+1．
结合函数图象可知：当x≤-2和x≥1时，抛物线图象在直线上方，
故$\frac{1}{3}{x}^{2}$+bx+c≥kx+h的x的取值范围为x≤-2或x≥1．
（2）设过点P并且与直线AB平行的直线l的解析式为y=-x+d，
当直线l与抛物线只有一个交点P时，△PAB的面积最大．
将y=-x+d代入到抛物线解析式y₁=$\frac{1}{3}{x}^{2}$-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$中得：
-x+d=$\frac{1}{3}{x}^{2}$-$\frac{2}{3}$x+$\frac{1}{3}$，即x²+x+1-3d=0．
由方程只有一个根，故△=1²-4×（1-3d）=0，
解得：d=$\frac{1}{4}$，
当d=$\frac{1}{4}$时，方程x²+x+1-$\frac{3}{4}$=${（x+\frac{1}{2}）}^{2}$=0，
解得x=-$\frac{1}{2}$．
令x=-$\frac{1}{2}$，则y=$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$-$\frac{2}{3}×（-\frac{1}{2}）$+$\frac{1}{3}$=$\frac{3}{4}$．
故点P的坐标为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）．
（3）假设存在，设M点的坐标为（m，$\frac{1}{3}{m}^{2}$-$\frac{2}{3}$m+$\frac{1}{3}$），
直线AB的解析式为y₂=-x+1，即x+y₂-1=0，
∵△MAB的面积与△OAB相等，
∴点M与点O到直线AB的距离相等，
由点到直线的距离可知：$\frac{|m+\frac{1}{3}{m}^{2}-\frac{2}{3}m+\frac{1}{3}-1|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|-1|}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$，
当m＜-2时，有m²+m-5=0，
解得：m=$\frac{-1-\sqrt{21}}{2}$或m=$\frac{-1+\sqrt{21}}{2}$（舍去），
此时点M的坐标为（$\frac{-1-\sqrt{21}}{2}$，$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$）；
当-2≤m≤1时，有m²+m+1=0，
方程无解；
当m＞1时，有m²+m-5=0，
解得：m=$\frac{-1-\sqrt{21}}{2}$（舍去）或m=$\frac{-1+\sqrt{21}}{2}$，
此时点M的坐标为（$\frac{-1+\sqrt{21}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{21}}{2}$）．
综上可知：抛物线上存在一点M，使△MAB的面积与△OAB相等，点M的坐标为（$\frac{-1-\sqrt{21}}{2}$，$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$）或（$\frac{-1+\sqrt{21}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{21}}{2}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、直线与抛物线相切以及点到直线的距离，解题的关键是：（1）待定系数法求函数解析式；（2）利用根的判别式解决相切问题；（3）由点M与点O到直线AB的距离相等得出关于m的一元二次方程．本题属于中档题，有点难度，（1）难度不大；（2）需借助直线与抛物线相切来寻找最值；（3）由同底三角形面积相等得出等高．