Question

2．如图，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上．若EF⊥HG于点O，HF∥GE，BE=EC=4，EO=2FO，图中阴影部分的面积$\frac{170}{9}$．

Answer 1

分析 易得△AHF∽△CGE，所以$\frac{AF}{CE}$=$\frac{FH}{EG}$=$\frac{FO}{OE}$，由EC=2得AF=1，过F作FP⊥BC于P，根据勾股定理得EF=2$\sqrt{17}$，因为FH∥EG，所以$\frac{FO}{OE}$=$\frac{HO}{HG}$，知EF=GH，所以FO=HO，再求得△FOH与三角形△的面积相加即可．

解答 解：将FE平移到AM处，则AM∥EF，AM=EF．
将GH平移到DN处，则DN∥GH，DN=GH．

∵EF⊥GH，
∴AM⊥DN，
在△ABM与△DAN中，
$\left\{\begin{array}{l}{BAM=∠ADN}\\{AB=DA}\\{∠ABM=∠DAN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DAN（ASA），
则AM=DN，
∴EF=GH；
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD
∴∠AHO=∠CGO
∵FH∥EG
∴∠FHO=∠EGO
∴∠AHF=∠CGE
∴△AHF∽△CGE
∴$\frac{AF}{CE}$=$\frac{FH}{EG}$=$\frac{FO}{OE}$，
∵EC=4
∴AF=2
过F作FP⊥BC于P，

根据勾股定理得EF=2$\sqrt{17}$，
∵FH∥EG，
∴$\frac{FO}{OE}$=$\frac{HO}{HG}$，
∵EF=GH，
∴FO=HO．
∴S_△FOH=$\frac{1}{2}$FO²=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$EF）²，S_△EOG=$\frac{1}{2}$×（$\frac{2}{3}$EF）²，
∴阴影部分面积为$\frac{170}{9}$．
故答案是：$\frac{170}{9}$．

点评 本题考查了三角形的综合知识．用到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等综合性较强，难度较大．