Question

12．已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE．
（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；（3）若BD=$\sqrt{3}$CD，直接写出∠BAD的度数．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，再根据旋转性质可得AD=AE，∠DAE=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△BAD和△CEF全等，从而得证；
（2）将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．与（1）同理可得CE=BD，CE⊥BD，根据勾股定理即可求得2AD²=BD²+CD²；
（3）分两种情况分别讨论即可求得．

解答 （1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠DAE=90°，
∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE，∠ACE=∠ABC=45°．
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
∴BD⊥CE；
（2）2AD²=BD²+CD²，
理由：如图2，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE、DE．
与（1）同理可证CE=BD，CE⊥BD，
∵∠EAD=90°AE=AD，
∴ED=$\sqrt{2}$AD，
在RT△ECD中，ED²=CE²+CD²，
∴2AD²=BD²+CD²．
（3）如图3，①当D在BC边上时，将线段AD₁绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AE，连接BE，
与（1）同理可证△ABE≌△ACD₁，
∴BE=CD₁，BE⊥BC，
∵BD=$\sqrt{3}$CD，
∴BD₁=$\sqrt{3}$BE，
∴tan∠BD₁E=$\frac{BE}{B{D}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BD₁E=30°，
∵∠EAD₁=∠EBD₁=90°，
∴四边形A、D₁、B、E四点共圆，
∴∠EAB=∠BD₁E=30°，
∴∠BAD₁=90°-30°=60°；
②当D在BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AF，连接CF．
同理可证：∠CFD₂=30°，
∵∠FAD₂=∠FCD₂=90°，
∴四边形A、F、D₂、C四点共圆，
∴∠CAD₂=∠CFD₂=30°，
∴∠BAD₂=90°+30°=120°，
综上，∠BAD的度数为60°或120°．

点评 本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，四点共圆的判定，圆周角定理等，通过旋转得出全等三角形是本题的关键．