Question

二次函数y=

1

4

（x-2）²+k，交y轴于点A，B是顶点，P为x轴上一动点，若k=1时△ABP能否成为直角三角形？求P点坐标．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：先将k=1代入y=

1

4

（x-2）²+k，得y=

1

4

（x-2）²+1，则A（0，2），B（2，1），再设P点坐标为（x，0），分三种情况进行讨论：①∠A为直角；②∠B为直角；③∠P为直角．每一种情况都可以根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可求出P点坐标．

解答：解：将k=1代入y=

1

4

（x-2）²+k，
得y=

1

4

（x-2）²+1，
则A（0，2），B（2，1），
所以AB²=（2-0）²+（1-2）²=5．
设P点坐标为（x，0），分三种情况：
①如果∠A为直角，那么AB²+AP²=BP²，
即5+（x-0）²+（0-2）²=（x-2）²+（0-1）²，
解得x=-1，
所以P点坐标为（-1，0）；
②如果∠B为直角，那么AB²+BP²=AP²，
即5+（x-2）²+（0-1）²=（x-0）²+（0-2）²，
解得x=

3

2

，
所以P点坐标为（

3

2

，0）；
③如果∠P为直角，那么AP²+BP²=AB²，
即（x-0）²+（0-2）²+（x-2）²+（0-1）²=5，
整理，得x²-2x+2=0，
∵△=4-4×1×2=-4＜0，
∴原方程无解．
综上所述，k=1时△ABP能成为直角三角形，此时P点坐标为（-1，0）或（

3

2

，0）．

点评：本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，注意本题要分三种情况讨论，不要漏解．