Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高．
（1）试说明△ABC∽△CBD∽△ACD；
（2）由△ABC∽△ACD，可得$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$，即AC是AB和AD的比例中项；
（3）图中还存在哪些有关“比例中项”的结论？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出∠CDA=∠ACB=90°，根据有两个角对应相等的两三角形相似得出△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC，即可得出答案；
（2）根据相似三角形的性质得到比例式，由比例式得到等积式，结论即可得到；
（3）根据三角形相似得到比例式，由比例式化成等积式即可．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDA=∠ACB=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
同理△CBD∽△ABC，
∴△ACD∽△CBD∽ABC；
（2）∵△ABC∽△ACD，∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AC}{AD}$，
∴AC²=AB•AD，
∴AC是AB，AD的比例中项，
故答案为：AB，AD；

（3）∵△CBD∽△ABC，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$，
∴BC²=AB•BD，
∵△ACD∽△BCD，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}$，
∴CD²=AD•BD．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，有关比例中项问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．