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【题目】1)在ABC中,∠ACB90°ACBC,直线MN经过点CADMN于点DBEMN于点E,当直线MN旋转到图1的位置时,求证:DEAD+BE

2)在(1)的条件下,当直线MN旋转到图2的位置时,猜想线段ADDEBE的数量关系,并证明你的猜想;

3)如图3,在ABC中,ADBCDADBCBFBCBBFCDCEBCCCEBD,求证:∠EAF+BAC90°

【答案】1)见解析;(2DEADBE,证明见解析;(3)见解析.

【解析】

1)由已知条件可推出∠ACD=∠CBE,继而可证明△ADC≌△CEB,利用全等三角形的性质可证明结论;

2)与(1)证法类似,可推出∠ACD=∠CBE,证明△ADC≌△CEB,得出ADCEDCBE,继而得出结论;

3)连接CFBE,可证明△ADC≌△CBF,进一步推出△ACF为等腰直角三角形,同理可推出△ABE为等腰直角三角形,从而可得出结论.

解:(1)证明:∵∠ACB90°,

∴∠ACD+BCE90°,

ADMNDBEMNE

∴∠ADC=∠CEB90°,

∴∠BCE+CBE90°,

∴∠ACD=∠CBE

在△ADC和△CEB中,

∴△ADC≌△CEBAAS),

ADCEDCBE

DEDC+CEBE+AD

2DEADBE

∵∠ACB90°,

∴∠ACD+BCE90°,

ADMNDBEMNE

∴∠ADC=∠CEB90°,

∴∠BCE+CBE90°,

∴∠ACD=∠CBE

在△ADC和△CEB中,

∴△ADC≌△CEBAAS),

ADCEDCBE

DECECDADBE

3)如图3,连接CFBE

ADBCDBFBCB

∴∠ADC=∠CBF90°,

在△ADC和△CBF中,

∵△ADC≌△CBFSAS),

∴∠CAD=∠FCBACCF

∴∠ACF=∠FCB+ACD=∠CAD+ACD=∠ADC90°

∴△ACF为等腰直角三角形.

∴∠CAF45°,

同理:△ABE为等腰直角三角形.

∴∠EAB45°,

∴∠EAF+BAC=∠CAF+EAB90°.

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