Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A(a，0)，B(b，0)，且a，b满足|2a+6|+(2a﹣3b+12)2＝0，现同时将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．

(1)请直接写出A、B、C、D四点的坐标；

(2)如图2，点P是线段AC上的一个动点，点Q是线段CD的中点，连接PQ，PO，当点P在线段AC上移动时(不与A，C重合)，请找出∠PQD，∠OPQ，∠POB的数量关系，并证明你的结论；

(3)在坐标轴上是否存在点M，使三角形MAD的面积与三角形ACD的面积相等？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(﹣3，0)，B(2，0)，C（-5，2），D（0，2）；（2）∠PQD+∠OPQ+∠POB＝360°，理由见解析；（3）(2，0)或(﹣8，0)或(0，﹣)或(0，)

【解析】

（1）根据绝对值的非负性、偶次方的非负性分别求出a、b，得到点A，B的坐标，即可解决问题；

（2）求出五边形QPOBD的内角和，根据平行线的性质得到∠QDB＋∠OBD＝180°，计算即可；

（3）根据题意求出△ACD的面积，分点M在x轴上、点M在y轴上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可．

解：(1)∵|2a+6|+(2a﹣3b+12)2＝0，

∴|2a+6|＝0，(2a﹣3b+12)2＝0，

解得，a＝﹣3，b＝2，

则点A，B的坐标分别为A(﹣3，0)，B(2，0)；

将点A，B分别向左平移2个单位，再向上平移2个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，则C（-5,2）D（0,2）；

(2)∠PQD+∠OPQ+∠POB＝360°，

理由如下：五边形QPOBD的内角和＝(5﹣2)×180°＝540°，

∵CD∥AB，

∴∠QDB+∠OBD＝180°，

∴∠PQD+∠OPQ+∠POB＝540°﹣(∠QDB+∠OBD)＝360°；

(3)由题意得，点C的坐标为(﹣5，2)，点D的坐标为(0，2)，

则△ACD的面积＝×5×2＝5，

当点M在x轴上时，设点M的坐标为(x，0)，

则AM＝|﹣3﹣x|，

由题意得，×|﹣3﹣x|×2＝5，

解得，x＝2或﹣8，

当点M在y轴上时，设点M的坐标为(0，y)，

则AM＝|2﹣y|，

由题意得，×|2﹣y|×3＝5，

解得，y＝﹣或，

综上所述，三角形MAD的面积与三角形ACD的面积相等时，点M的坐标为(2，0)或(﹣8，0)或(0，﹣)或(0，)．