Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+3（k≠0）交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，过点C（0，2）作y轴的垂线CD交AB于点E，点P从E出发，沿着射线ED向右运动，设PE＝n．

（1）求直线AB的表达式；

（2）当△ABP为等腰三角形时，求n的值；

（3）若以点P为直角顶点，PB为直角边在直线CD的上方作等腰Rt△BPM，试问随着点P的运动，点M是否也在直线上运动？如果在直线上运动，求出该直线的解析式；如果不在直线上运动，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+3；（2）n=或+或﹣+2；（3）在直线上，理由见解析

【解析】

（1）将点A的坐标代入直线AB：y=kx+3并解得：k=﹣，即可求解；

（2）分AP=BP、AP=AB、AB=BP三种情况，分别求解即可；

（3）证明△MHP≌△PCB（AAS），求出点M（n+，n+），即可求解．

（1）将点A的坐标代入直线AB：y=kx+3并解得：k=﹣，

故AB的表达式为：y=﹣x+3；

（2）当y=2时，x=，故点E（，2），则点P（n+，2），

而点A、B坐标分别为：（4，0）、（0，3），

则AP2=（+n﹣4）2+4；BP2=（n+）2+1，AB2=25，

当AP=BP时，（+n﹣4）2+4=（n+）2+1，解得：n=；

当AP=AB时，同理可得：n=（不合题意值已舍去）；

当AB=BP时，同理可得：n=﹣+2；

故n＝或+或﹣+2；

（3）在直线上，理由：

如图，过点M作MD⊥CD于点H，

∵∠BPC+∠PBC=90°，∠BPC+∠MPH=90°，

∴∠CPB=∠MPH，BP=PM，∠MHP=∠PCB=90°

∴△MHP≌△PCB（AAS），

则CP=MH=n+，BC=1=PH，

故点M（n+，n+），

n++1= n+，

故点M在直线y=x+1上．