Question

20．已知，如图，在△ABC中，E是内心，延长AE交△ABC的外接圆于点D，弦AD交弦BC于点F．
（1）求证：DE=DB；
（2）若cos∠BAC=$\frac{1}{2}$，BC=6，则DE=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）由三角形内心的定义可知∠1=∠4，∠2=∠3，由同弧所对的圆周角相等可知：∠4=∠5，于是可得到∠1+∠2=∠3+∠5，即∠BED=∠EBD，故此可证得DE=DB；
（2））由cos∠BAC=$\frac{1}{2}$，从而得到∠BAC=60°，由E是△ABC的内心，可知∠BAD=∠CAD=30°，于是可证得∠CBD=∠BCD=30°，从而得到BD=DC，由等腰三角形三线合一的性质可知：BG=CG=3，最后依据特殊锐角三角函数值可求得BD的长．

解答 解：（1）连接BE．

∵在△ABC中，E是内心，
∴∠1=∠4，∠2=∠3．
又∵∠4=∠5，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠3+∠5．
∴∠BED=∠EBD．
∴DE=DB．
（2）过点D作DG⊥BC，垂足为G．

∵cos∠BAC=$\frac{1}{2}$，
∴∠BAC=60°．
∵E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD=30°．
∴∠CBD=∠BCD=30°．
∴BD=DC．
又∵DG⊥BC，
∴BG=CG=3．
∴BD=$\frac{BG}{cos30°}$=$\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是三角形的内心、特殊锐角三角函数值、等腰三角形、等边三角形的性质和判定，证得△BDC为等腰直角三角形是解题的关键．