Question

5．已知点A（3，0），B（0，1），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，且点P（2，a）为平面直角坐标系中一动点．
（1）请说明不论当a取何值时，△BOP的面积是一个常数．
（2）要使得△ABC的面积和△ABP的面积相等，求a的值．

Answer 1

分析 （1）不论a取任何实数，△BOP都可以以BO=1为底，点P到y轴的距离2为高，所以三角形BOP的面积是一个常数；
（2）△ABC的面积已知，把△ABP的面积用a表示，就可以得到关于a的方程，解方程可以求出a．

解答 解：（1）如图，

不论a取任何实数，△BOP都可以以BO=1为底，点P到y轴的距离1为高，
∴S_△BOP=$\frac{1}{2}×1×2$=1为常数；
（2）AB=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{10}$，
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{10}×\sqrt{10}$=5，
当点P在第四象限时，a＜0，
∵S_△ABO$\frac{1}{2}×3×1$=$\frac{3}{2}$，S_△APO=-$\frac{3}{2}$a，
∴S_△ABP=S_△ABO+S_△APO-S_△BOP=S_△ABC=5，
即$\frac{3}{2}-\frac{3}{2}a-1$=5，
解得a=-3，
当点P在第一象限时，同理可得a=7，
综上所述，a的值为-3或7．

点评 此题主要考查了坐标与图形的性质，解决本题的关键是探讨变化三角形的面积，结合了方程的知识，解方程就可以求出a．