Question

【题目】如图1，已知等边三角形ABC，点P为AB的中点，点D、E分别为边AC、BC上的点，∠APD+∠BPE=60°．
（1）①若PD⊥AC，PE⊥BC，直接写出PD、PE的数量关系：____;

②如图1，证明：AP=AD+BE
（2）如图2，点F、H分别在线段BC、AC上，连接线段PH、PF，若PD⊥PF且PD=PF，HP⊥EP．求∠FHP的度数；

Answer 1

【答案】（1）①PD=PE；②见解析;（2）45°

【解析】

（1）①结论：PD=PE．如图1中，连接CP．理由角平分线的性质定理解决问题即可．
②如图1中，作PM∥BC交AC于M．△ABC为等边三角形，则△APM为等边三角形．证明△DPM≌△EPB（SAS）即可解决问题．
（2）如图2中，作PK⊥PH交CA于点K，作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N．首先证明PD=PF=PE，∠PHK=∠PKH=45°，再证明△PKD≌△PHF（SAS）即可解决问题．

（1）①解：结论：PD=PE．
理由：如图1中，连接CP．

∵△ABC是等边三角形，
∴CA=CB，
∵AP=PB，
∴CP平分∠ACB，
∵PD⊥CA，PE⊥CB，
∴PD=PE．
故答案为PD=PE．

②证明：如图1中，作PM∥BC交AC于M．△ABC为等边三角形，则△APM为等边三角形．
∵∠DPM+∠DPA=60°，∠APD+∠BPE=60°，
∴∠DPM=∠EPB，
∵PD=PE，PM=PA=PB，
∴△DPM≌△EPB（SAS）
∴DM=EB
∴AP=AM=AD+DM=AD+BE．
（2）解：如图2中，作PK⊥PH交CA于点K，作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N．

由（1）可知PM=PN，
∵∠DPE=120°，∠DCE=60°，
∴∠CDP+∠PEC=180°，
∵∠PDM+∠CDP=180°，
∴∠PDM=∠PEN，
∵∠PMD=∠PNE=90°，
∴△PMD≌△PNE（AAS），
∴PD=PE，
∵PF=PE，
∴PD=PE=PF，
∵∠DPF=∠HPE=90°，∠DPE=120°
∴∠DPH=∠FPE=30°，∠PEF=∠PFE=∠PDA=75°，
∴∠AHP=∠PKH=45°，
∴PH=PK，
∵∠KPH=∠DPF=90°，
∴∠KPM=∠HPF，
∵PK=PH，PD=PF，
∴△PKD≌△PHF（SAS），
∴∠FHP=∠K=45°．