【题目】如图,AB是圆⊙O的直径,BC是⊙O的切线,连结AC交⊙O于点D,E为上一点,连结AE、BE,BE交AC于点F,且AE2=EFEB
(1)求证:CB=CF.
(2)若点E到弦AD的距离为1,cos∠C=,求⊙O的半径.
【答案】(1)证明见解析;(2)⊙O的半径是.
【解析】
(1)如图1,由已知证明△AEF∽△BEA,根据相似三角形的对应角相等可得∠1=∠EAB,再根据∠1=∠2,∠3=∠EAB,从而可得∠2=∠3,继而可得CB=CF;
(2)如图2,连接OE交AC于点G,设⊙O的半径是r,由(1)可得∠4=∠5,继而可得,从而可得EG=1,根据cos∠C=
,且∠C+∠GAO=90°,可得sin∠GAO=
,继而可求得半径长.
(1)如图1,∵AE2=EFEB,
∴,
又∵∠AEF=∠AEB,
∴△AEF∽△BEA,
∴∠1=∠EAB.
∵∠1=∠2,∠3=∠EAB,
∴∠2=∠3,
∴CB=CF;
(2)如图2,连接OE交AC于点G,设⊙O的半径是r,
由(1)知,△AEF∽△BEA,则∠4=∠5,
∴,
∴OE⊥AD,
∴EG=1,
∵cos∠C=,且∠C+∠GAO=90°,
∴sin∠GAO=,
∴,即
,
解得,r=,
即⊙O的半径是.
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【题目】如图a是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后按图b的形状,拼成一个正方形.
(1)图b中的阴影部分面积为 ;
观察图b,请你写出三个代数式,
,mn之间的等量关系是 ;
(3)若x+y=﹣6,xy=2.75,利用提供的等量关系计算:x﹣y= ;
(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示,如图C,它表示了2+3mn+
=(m+n)(2m+n),试画出一个几何图形的面积是
+4ab+3
,并能利用这个图形将
+4ab+3
进行因式分解.
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【题目】如图1,直线l:y=x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,﹣1),抛物线y=
x2+bx+c经过点B,与直线l的另一个交点为C(4,n).
(1)求n的值和抛物线的解析式;
(2)点D在抛物线上,DE∥y轴交直线l于点E,点F在直线l上,且四边形DFEG为矩形(如图2),设点D的横坐标为t(0<t<4),矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式以及p的最大值;
(3)将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°,得到△A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“落点”,请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A1的横坐标.
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【题目】如图1,直线l:y=x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,﹣1),抛物线y=
x2+bx+c经过点B,与直线l的另一个交点为C(4,n).
(1)求n的值和抛物线的解析式;
(2)点D在抛物线上,DE∥y轴交直线l于点E,点F在直线l上,且四边形DFEG为矩形(如图2),设点D的横坐标为t(0<t<4),矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式以及p的最大值;
(3)将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°,得到△A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“落点”,请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A1的横坐标.
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【题目】在一条直线上依次有A、B、C三地,自行车爱好者甲、乙两人同时分别从A、B两地出发,沿直线匀速骑向C地.已知甲的速度为20 km/h,设甲、乙两人行驶x(h)后,与A地的距离分别为y1 、y2 (km), y1 、y2 与x的函数关系如图所示.
(1)求y2与x的函数关系式;
(2)若两人在出发时都配备了通话距离为3km的对讲机,求甲、乙两人在骑行过程中可以用对讲机通话的时间.
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【题目】如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,BC=5,点 P 在边 AB 上,连接 CP.将△BCP 沿直线CP 翻折后,点 B 恰好落在边 AC 的中点处,则点 P 到 AC 的距离是( )
A. 2.5 B. C. 3.5 D.
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【题目】如图1,已知等边三角形ABC,点P为AB的中点,点D、E分别为边AC、BC上的点,∠APD+∠BPE=60°.
(1)①若PD⊥AC,PE⊥BC,直接写出PD、PE的数量关系:____;
②如图1,证明:AP=AD+BE
(2)如图2,点F、H分别在线段BC、AC上,连接线段PH、PF,若PD⊥PF且PD=PF,HP⊥EP.求∠FHP的度数;
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【题目】如图1,直线l:y=x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,﹣1),抛物线y=
x2+bx+c经过点B,与直线l的另一个交点为C(4,n).
(1)求n的值和抛物线的解析式;
(2)点D在抛物线上,DE∥y轴交直线l于点E,点F在直线l上,且四边形DFEG为矩形(如图2),设点D的横坐标为t(0<t<4),矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式以及p的最大值;
(3)将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°,得到△A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“落点”,请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A1的横坐标.
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【题目】若等腰三角形腰长为2,有一个内角为80°,则它的底边长上的高为__.(精确到0.01,参考数据:sin50°≈0.766;sin80°≈0.985)
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