Question

19．如图，以正方形ABCD的DC边为一边向外作一个等边三角形CDE． 
（1）求证：△ABE是等腰三角形；
（2）求∠BAE的度数．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质，可得AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，根据等边三角形的性质，可得DE=CE，∠CDE=∠DCE=60°，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAE=∠DEA，根据三角形的内角和定理，可得∠DAE的度数，根据角的和差，可得答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形ABCD，
∴AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°．
∵△DCE是等边三角形，
∴DE=CE，∠CDE=∠DCE=60°．
∴∠ADC+∠CDE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，
即∠ADE=∠BCE=150°，
在△ADE和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠ADE=∠BCE}\\{DE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCE（SAS），
∴AE=BE，
∴△ABE是等腰三角形；
（2）在△ADE中，∵AD=CD=DE，
∴∠DAE=∠DEA
∵∠ADE=150°，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$（180°-150°）=15°，
∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=90°-15°=75°．

点评 本题考查了正方形的性质，（1）利用正方形的性质、等式的性质得出全等三角形的条件是解题关键；（2）利用等腰三角的性质得出∠DAE的度数是解题关键．