Question

4．如图，在正方形ABCD中，边长AD=12，点E是边CD上的动点（点E不与端点C、D重合），AE的垂直平分线FP分别交AD、AE、BC于点F、H、G，交AB的延长线于点P．
（1）当点E在CD边的中点时，则$\frac{FH}{HG}$的值是$\frac{1}{3}$；
（2）设DE=m（0＜m＜12），试用含m的代数式表示$\frac{FH}{HG}$的值；
（3）在（2）的条件下，当$\frac{FH}{HG}$=$\frac{1}{2}$时，求四边形DEHF的面积．

Answer 1

分析 （1）延长AE、BC交于点K，则KE=AE，AH=$\frac{1}{3}$HK，然后证明△AHF∽△KHC，根据相似三角形的对应边的比相等求解；
（2）过点G作GQ⊥AD于点Q，过点H作HM⊥AD于点M，证明△FHM∽△FGQ，根据相似三角形的对应边的比相等求解；
（3）首先求得m的值，根据S_{四边形DEHF}=S_△ADE-S_△AHF即可求解．

解答 解：（1）延长AE、BC交于点K．
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△KCE，
又∵DE=EC，
∴KE=AE，
又∵HE=AH，
∴AH=$\frac{1}{3}$HK，即$\frac{AH}{HK}$=$\frac{1}{3}$．
∵AD∥BC，
∴△AHF∽△KHC，
∴$\frac{FH}{HG}$=$\frac{AH}{HK}$=$\frac{1}{3}$．
故答案是：$\frac{1}{3}$；

（2）过点G作GQ⊥AD于点Q，过点H作HM⊥AD于点M．
∵FP垂直平分AE，
∴AH=EH．
∵MH∥CD∥AB，
∴AM=MD，
∴MH=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$m．
∵QG=AB=AD=12，MH∥GQ，
∴△FHM∽△FGQ，
∴$\frac{FH}{FG}$=$\frac{MH}{QG}$=$\frac{\frac{1}{2}m}{12}$=$\frac{m}{24}$．
∴$\frac{FH}{HG}$=$\frac{m}{24-m}$．

（3）当$\frac{FH}{FG}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{m}{24-m}$=$\frac{1}{2}$，
解得：m=8．
∵FG=AE=$\sqrt{{8}^{2}+1{2}^{2}}$=4$\sqrt{13}$，
∴FH=$\frac{m}{24}$•FG=$\frac{1}{3}$×$\sqrt{{8}^{2}+1{2}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{13}}{3}$．
∵AH=$\frac{1}{2}$AE$\sqrt{13}$．
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$AD•DE=48，S_△AHF=$\frac{1}{2}$AH•FH=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{13}$×$\frac{4\sqrt{13}}{3}$=$\frac{52}{3}$，
∴S_{四边形DEHF}=48-$\frac{52}{3}$=$\frac{92}{3}$．

点评 本题是相似三角形的判定与性质以及勾股定理、正方形的性质的综合应用，正确作出辅助线，作出相似的三角形是关键．