Question

9．如图，在面积为3的正方形ABCD中，E，F分别是AB和AD上的点，DE⊥CF于点P，且DF=1，S_△DPF=$\frac{\sqrt{3}}{8}$，
（1）求BE的长；
（2）求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）先证明△ADE≌△DCF，得出AE=DF，再由面积求出边长AB，即可得出BE；
（2）先求出S_△ADE=S_△DCF=$\frac{1}{2}$DF•DC，再由正方形的面积减去△ADE和△DCF的面积加上△DCF的面积即为阴影部分的面积．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=DC，∠A=∠ADC=90°，
∴∠AED+∠ADE=90°，
∵DE⊥CF，
∴∠DPF=90°，
∴∠DFC+∠ADE=90°，
∴∠AED=∠DFC，
在△ADE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠ADC}&{\;}\\{AD=DC}&{\;}\\{∠AED=∠DFC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△DCF（ASA），
∴AE=DF=1，
∵S_{正方形ABCD}=AB²=3，
∴AB=$\sqrt{3}$，
∴BE=AB-AE=$\sqrt{3}$-1；
（2）∵△ADE≌△DCF，
∴S_△ADE=S_△DCF=$\frac{1}{2}$DF•DC=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴阴影部分的面积=3-2S_△DCF+S_△DPF=3-$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{8}$=3-$\frac{7\sqrt{3}}{8}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及阴影面积的求法；证明三角形全等和阴影面积的间接求法是解决问题的关键．