Question

14．如图，在平行四边形ABCD中，AC是它的一条对角线，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形BEDF是平行四边形．

Answer 1

分析 通过全等三角形（△ABE≌△CDF）的对应边相等推知BE=DF，由“一组对边平行且相等四边形是平行四边形“证得四边形BEDF是平行四边形．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，且AB∥DC，
∴∠BAE=∠DCF．
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠AEB=∠CFD=90°．
在△ABE与△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠CFD}\\{∠BAE=∠CDF}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE=DF；
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．

点评 本题主要考查了平行四边形的判定与性质，平行四边形的判定方法共有五种，要根据条件合理、灵活地选择方法，是解答此题的关键．