Question

20．将一大、一小两个等腰直角三角形拼接，AB=CB，EB=DB，∠ABC=∠EBD=90°，连接AE，CD
（1）如图1，若A，B，D三点共线，试确定AE与CD的位置关系与数量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，若A，B，D三点不共线，（1）中的结论是否成立，为什么？

Answer 1

分析 （1）根据题意可以证明△ABE≌△CBD，进而得出∠AEB=∠CDB，AE=CD，据此即可得解；
（2）首先证明∠ABE=∠CBD，可以得出△ABE≌△CBD，进而得出∠EAB=∠DCB，AE=CD，据此即可得解．

解答 解：（1）AE⊥CD，AE=CD，
∵在△ABE和△CBD中，
     $\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABC=∠EBD}\\{EB=DB}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD（ASA），
∴AE=CD，∠AEB=∠CDB，
∵∠AEB+∠EAB=90°，
∴∠CDB+∠EAB=90°，
∴∠AFD=90°，
∴AE⊥CD；  
（2）成立，
∵∠ABC=∠EBD=90°，
∴∠ABC+∠CBE=∠EBD+∠CBE，
即：∠ABE=∠CBD，
在△ABE和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBD}\\{EB=DB}\end{array}\right.$，
∴∴△ABE≌△CBD（ASA），
∴AE=CD，∠EAB=∠DCB，
∵∠AOB+∠EAB=90°，
∴∠DCB+∠COE=90°，
∴∠AFC=90°，
∴AE⊥CD．

点评 本题主要考查了三角形全等的性质定理与判定定理．牢记定理是解题的关键，还考查了垂直的定义，注意总结．