Question

10．如图，已知A、B两点是直线AB与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点，如果OA，OB的长分别是x²-14x+48=0的两个根（OA＞OB），射线BC平分∠ABO交x轴于C点，
（1）求OA，OB的长．
（2）求点C的坐标．
（3）在坐标平面内找点Q，使A，B，C，Q四个点为顶点的四边形是平行四边形，求出符合条件的点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）首先根据x²-14x+48=0，求出方程的两个根是多少；然后根据OA＞OB，求出OA，OB的长各是多少即可．
（2）首先根据射线BC平分∠ABO交x轴于C点，设∠OBC=∠ABC=α，则tan2α=$\frac{2tanα}{1{-tan}^{2}α}$=$\frac{4}{3}$，据此求出tanα的值是多少；然后求出OC的值是多少，即可确定出点C的坐标．
（3）根据题意，分三种情况：①当AC、BQ为四边形ABCQ的两条对角线时；②当AQ、BC为四边形ABCQ的两条对角线时；③当AB、CQ为四边形ABCQ的两条对角线时；然后根据平行四边形的性质，分类讨论，求出符合条件的点Q的坐标是多少即可．

解答 解：（1）由x²-14x+48=0，
解得x=6或x=8，
∵OA＞OB，
∴OA=8，0B=6，
即OA的长是8，OB的长是6．

（2）∵射线BC平分∠ABO交x轴于C点，
∴设∠OBC=∠ABC=α，
则tan2α=$\frac{2tanα}{1{-tan}^{2}α}$=$\frac{OA}{OB}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$，
整理，可得
2tan²α+3tanα-2=0，
解得tanα=$\frac{1}{2}$或tanα=-2，
∵α为锐角，
∴tanα=-2舍去，
∴tanα=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{OC}{OB}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OC}{6}=\frac{1}{2}$，
解得OC=3，
∴点C的坐标是（3，0）．

（3）①如图1，AC、BQ交于点D，

设点Q的坐标是（a，b），
∵AB∥CQ，
∴$\frac{b}{a-3}$=-$\frac{3}{4}$…（1），
∵四边形ABCQ是平行四边形，
∴点D是AC、BQ的中点，
∴$\frac{b+6}{2}=\frac{0+0}{2}$…（2），
由（1）（2），可得
$\left\{\begin{array}{l}{a=11}\\{b=-6}\end{array}\right.$
∴点Q的坐标是（11，-6）．

②如图2，AQ、BC交于点E，

设点Q的坐标是（c，d），
∵AC∥BQ，
∴d=6，
∵四边形ABCQ是平行四边形，
∴点E是AQ、BC的中点，
∴$\frac{3+0}{2}=\frac{8+c}{2}$，
解得c=-5，
∴点Q的坐标是（-5，6）．

③如图3，AB、CQ交于点F，

设点Q的坐标是（e，f），
∵AC∥BQ，
∴f=6，
∵四边形ABCQ是平行四边形，
∴点F是AB、CQ的中点，
∴$\frac{8+0}{2}=\frac{e+3}{2}$，
解得e=5，
∴点Q的坐标是（5，6）．
综上，可得点Q的坐标是（11，-6）、（-5，6）或（5，6）．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了平行四边形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．