Question

【题目】如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c（其中b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．

（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标．

（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围．

（3）沿直线AC方向平移该二次函数图象，使得CM与平移前的CB相等，求平移后点M的坐标．

（4）点P是直线AC上的动点，过点P作直线AC的垂线PQ，记点M关于直线PQ的对称点为M′．当以点P、A、M、M′为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+4，（1，5）；

（2）2＜m＜4;（3）（3，3）或（﹣1，7）;（4）（1，3）或（﹣3，7）.

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法，求二次函数解析式.(2)先求出AC直线解析式，平移后顶点AC下方，AB上方，在求出坐标的范围.(3) 当y=1时，﹣x2+2x+4=1，解得x=﹣1或3，利用MM′∥AC，可得平移后的M的坐标.(4) 连接MC，MM′交PQ于F，设出各点坐标，则四边形CMFP是矩形, 当四边形 PAM′M是平行四边形时,分别求出P的坐标为（1，3）或（﹣3，7）．

试题解析：

解：（1）把点A（3，1），点C（0，4）代入二次函数y=﹣x2+bx+c得

,解得,

∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4，

配方得y=﹣（x﹣1）2+5，

∴点M的坐标为（1，5）.

（2）设直线AC解析式为y=kx+b，把点A（3，1），C（0，4）代入得，

解得： ，

∴直线AC的解析式为y=﹣x+4，如图所示，对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F,

把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3，则点E坐标为（1，3），点F坐标为（1，1），

点M向下平移m个单位后，坐标为（1，5﹣m），

由题意：1＜5﹣m＜3，解得2＜m＜4；

∴2＜m＜4．

（3）如图，

当y=1时，﹣x2+2x+4=1，解得x=﹣1或3，

∴B（﹣1，1），

∵C（0，4），

∴BC=,

∵MM′∥AC，CM′=,M（1，5）,

∴M′的坐标为（3，3）或（﹣1，7）,

∴平移后点M的坐标（3，3）或（﹣1，7）．

（4）如图，连接MC，MM′交PQ于F，则四边形CMFP是矩形，

当四边形 PAM′M是平行四边形时，PA=MM′=2MF=2PC，设P（m，﹣m+4），

则有（3﹣m）=2m，

∴m=1，

∴P（1，3），

当P′AMM′是平行四边形时，易知AP′=2CP′，

∴（3﹣m）=2（﹣m），

解得m=﹣3，

∴P（﹣3，7），

综上所述，满足条件的点P的坐标为（1，3）或（﹣3，7）．