Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC=5，AB边上的高CD=4，点P从点A出发，沿AB以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作PQ⊥AB，交边AC或边BC于点Q，以PQ为边向右侧作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）．

（1）直接写出tanB的值为　 　．

（2）求点M落在边BC上时t的值．

（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分为四边形时，求S与t之间的函数关系式．

（4）边BC将正方形PQMN的面积分为1：3两部分时，直接写出t的值．

Answer 1

【答案】（1）2； （2）；（3）s=.（4） s．

【解析】试题分析：（1）利用三角函数定义求tanB的值.(2) 当点M落在BC边上时，由题意得：AP=3t，利用tan∠CAB=求t的值.(3) ①当0＜t≤时，如图1，正方形PQMN与△ABC重叠部分是正方形PQMN，②当N与B重合时,当＜t＜时，如图3，正方形PQMN与△ABC重叠部分是五边形EQPNF，③当≤t＜1时，如图4，正方形PQMN与△ABC重叠部分是梯形EQPB，S与t之间的函数.(4) QG=GM， t=s或1s时，边BC将正方形PQMN的面积分为1：3两部分．

试题解析：

解：（1）∵CD⊥AB，

∴∠ADC=∠ADB=90°，

∵在Rt△ACD中，AD==3，

∴BD=AB﹣AD=5﹣3=2，

∴在Rt△BCD中，tan∠B===2；

故答案为2．

（2）当点M落在BC边上时，如图1，

由题意得：AP=3t，

tan∠CAB=，

∴PQ=PN=MN=4t，BN=2t，

∴3t+4t+2t=5，

t=.

（3）分三种情况：

①当0＜t≤时，如图1，正方形PQMN与△ABC重叠部分是正方形PQMN，

∴S=PQ2=（4t）2=16t2；

②当N与B重合时，如图2，

AP=3t，PQ=PB=4t，

∴3t+4t=5，

t=,

当＜t＜时，如图3，正方形PQMN与△ABC重叠部分是五边形EQPNF，

③当≤t＜1时，如图4，正方形PQMN与△ABC重叠部分是梯形EQPB，

∴AP=3t，PN=4t，

∴BN=7t﹣5，PB=4t﹣（7t﹣5）=﹣3t+5，

在Rt△APQ中，AQ=5t，

∴QC=5﹣5t，

∵AC=AB，

∴∠ACB=∠ABC，

∵QE∥AB，

∴∠QEC=∠ABC，

∴∠QEC=∠ACB，

∴QE=QC=5﹣5t，

∴S=S梯形QPBE=（QE+PB）×PQ，

=（5﹣5t+5﹣3t）×4t=﹣16t2+20t；

综上所述，S与t之间的函数关系式为：

S=.

（4）如图2，当t=时，CQ=QG=5﹣5t=，

∴GM=4t﹣=，

∴QG=GM，

∴S△QGB=S△GMB，

∴S梯形GQPB：S△GMB=3：1，

当P与D重合时，t=1，如图5，

则S△CDB：S四边形CBNM=×2×4：（42﹣×2×4），

=1：3，

综上所述，t=s或1s时，边BC将正方形PQMN的面积分为1：3两部分．