【题目】如图1,2,3分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形,BE和CD相交于点O.
(1)在图1中,求证:△ABE≌△ADC.
(2)由(1)证得△ABE≌△ADC,由此可推得在图1中∠BOC=120°,请你探索在图2中,∠BOC的度数,并说明理由或写出证明过程.
(3)填空:在上述(1)(2)的基础上可得在图3中∠BOC= (填写度数).
(4)由此推广到一般情形(如图4),分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正n边形,BE和CD仍相交于点O,猜想得∠BOC的度数为 (用含n的式子表示).
【答案】(1)详见解析;(2)∠BOC=90°,理由见解析;(3)72°;(4)∠BOC的度数为,理由见解析.
【解析】
试题分析:(1)根据等边三角形证明AB=AD,AC=AE,再利用等式性质得∠DAC=∠BAE,根据SAS得出△ABE≌△ADC;(2)根据正方形性质证明△ABE≌△ADC,得∠BEA=∠DCA,再由正方形ACEG的内角∠EAC=90°和三角形外角和定理得∠BOC=90°;(3)根据正五边形的性质证明:△ADC≌△ABM,再计算五边形每一个内角的度数为108°,由三角形外角定理求出∠BOC=72°;(4)根据正n边形的性质证明:△ADC≌△ABM,再计算n边形每一个内角的度数为180°﹣,由三角形外角定理求出∠BOC=.
试题解析:(1)如图1,∵△ABD和△ACE是等边三角形,
∴AB=AD,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°,
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC,
即∠DAC=∠BAE,
∴△ABE≌△ADC;
(2)如图2,∠BOC=90°,理由是:
∵四边形ABFD和四边形ACGE都是正方形,
∴AB=AD,AC=AE,∠DAB=∠EAC=90°,
∴∠BAE=∠DAC,
∴△ADC≌△ABE,
∴∠BEA=∠DCA,
∵∠EAC=90°,
∴∠AMC+∠DCA=90°,
∵∠BOC=∠OME+∠BEA=∠AMC+∠DCA,
∴∠BOC=90°;
(3)如图3,同理得:△ADC≌△ABM,
∴∠BME=∠DCA,
∵∠BOC=∠BME+∠OEM=∠DCA+∠AEC,
∵正五边形ACIGM,
∴∠EAC=180°﹣=108°,
∴∠DCA+∠AEC=72°,
∴∠BOC=72°;
(4)如图4,∠BOC的度数为,理由是:
同理得:△ADC≌△ABM,
∴∠BME=∠DCA,
∵∠BOC=∠BME+∠OEM=∠DCA+∠AEC,
∵正n边形AC…M,
∴∠EAC=180°﹣,
∴∠DCA+∠AEC=180°﹣(180°﹣)
∴∠BOC=.
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【题目】如下表,从左到右在每个小格子中都填入一个整数,使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等,则第2011个格子中的数为 ( )
A. 3 B. 2 C. 0 D. -1
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【题目】现在规定两种新的运算“﹡”和“◎”:a﹡b=a2+b2;a◎b=2ab,如(2﹡3)(2◎3)=(22+32)(2×2×3)=156,则[2﹡(﹣1)][2◎(﹣1)]= .
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【题目】截至2016年底,某市人口总数已达到7250000人,将7250000用科学记数法表示为( )
A.0.725×107
B.7.25×107
C.72.5×105
D.7.25×106
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【题目】下列运算正确的是( )
A.5m+2m=7m2
B.﹣2m2m3=2m5
C.(﹣a2b)3=﹣a6b3
D.(b+2a)(2a﹣b)=b2﹣4a2
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【题目】在体育课上,甲、乙两名同学分别进行了5次跳远测试,经计算他们的平均成绩相同.若要比较这两名同学的成绩哪一个更为稳定,通常需要比较他们成绩的( )
A.众数
B.平均数
C.中位数
D.方差
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