Question

如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为，OP=1，求BC的长．

Answer 1

（1）证明：连结OB，如图，

∵OP⊥OA，

∴∠AOP=90°，

∴∠A+∠APO=90°，

∵CP=CB，

∴∠CBP=∠CPB，

而∠CPB=∠APO，

∴∠APO=∠CBP，

∵OA=OB，

∴∠A=∠OBA，

∴∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°，

∴OB⊥BC，

∴BC是⊙O的切线；

（2）解：设BC=x，则PC=x，

在Rt△OBC中，OB=，OC=CP+OP=x+1，

∵OB²+BC²=OC²，

∴（）²+x²=（x+1）²，

解得x=2，

即BC的长为2．