Question

如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于E，交△ABC的外接圆⊙O于D．
（1）求证：△ABE∽△ADC；
（2）请连接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边形OBDC是菱形．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,菱形的判定,圆周角定理

专题：证明题

分析：（1）根据圆周角定理求出∠B=∠D，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）根据垂径定理求出OD⊥BC，根据线段垂直平分线性质得出OB=BD，OC=CD，根据菱形的判定推出即可．

解答：证明：（1）∵∠BAC的角平分线AD，
∴∠BAE=∠CAD，
∵∠ABC=∠ADC，
∴△ABE∽△ADC；

（2）
∵∠BAD=∠CAD，
∴

BD

=

CD

，
∵OD为半径，
∴DO⊥BC，
∵F为OD的中点，
∴OB=BD，OC=CD，
∵OB=OC，
∴OB=BD=CD=OC，
∴四边形OBDC是菱形．

点评：本题考查了相似三角形的判定，圆周角定理，垂径定理，菱形的判定，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．