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【题目】已知:如图,抛物线yax2+bx+3与坐标轴分别交于点AB(﹣30),C10),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.

1)求抛物线解析式;

2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积最大?

3)过点Px轴的垂线,交线段AB于点D,再过点PPEx轴交抛物线于点E,连接DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.

【答案】(1)y=﹣x22x+3 2)(﹣) (3)存在,P(﹣23)或P(

【解析】

(1)用待定系数法求解;(2)过点PPHx轴于点H,交AB于点F,直线AB解析式为yx+3,设Pt,﹣t2﹣2t+3)(﹣3<t<0),则Ftt+3),则PF=﹣t2﹣2t+3﹣(t+3)=﹣t2﹣3t,根据SPABSPAF+SPBF写出解析式,再求函数最大值;(3)设Pt,﹣t2﹣2t+3)(﹣3<t<0),则Dtt+3),PD=﹣t2﹣3t,由抛物线y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,由对称轴为直线x=﹣1,PEx轴交抛物线于点E,得yEyP,即点EP关于对称轴对称,所以=﹣1,得xE=﹣2﹣xP=﹣2﹣t,故PE=|xExP|=|﹣2﹣2t|,由△PDE为等腰直角三角形,∠DPE=90°,得PD=PE,再分情况讨论:①当﹣3<t≤﹣1时,PE=﹣2﹣2t;②当﹣1<t<0时,PE=2+2t

解:(1)∵抛物线yax2+bx+3过点B(﹣3,0),C(1,0)

解得:

∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3

(2)过点PPHx轴于点H,交AB于点F

x=0时,y=﹣x2﹣2x+3=3

A(0,3)

∴直线AB解析式为yx+3

∵点P在线段AB上方抛物线上

∴设Pt,﹣t2﹣2t+3)(﹣3<t<0)

Ftt+3)

PF=﹣t2﹣2t+3﹣(t+3)=﹣t2﹣3t

SPABSPAF+SPBFPFOH+PFBHPFOB(﹣t2﹣3t)=﹣t+2+

∴点P运动到坐标为(﹣),△PAB面积最大

(3)存在点P使△PDE为等腰直角三角形

Pt,﹣t2﹣2t+3)(﹣3<t<0),则Dtt+3)

PD=﹣t2﹣2t+3﹣(t+3)=﹣t2﹣3t

∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4

∴对称轴为直线x=﹣1

PEx轴交抛物线于点E

yEyP,即点EP关于对称轴对称

=﹣1

xE=﹣2﹣xP=﹣2﹣t

PE=|xExP|=|﹣2﹣2t|

∵△PDE为等腰直角三角形,∠DPE=90°

PDPE

①当﹣3<t≤﹣1时,PE=﹣2﹣2t

∴﹣t2﹣3t=﹣2﹣2t

解得:t1=1(舍去),t2=﹣2

P(﹣2,3)

②当﹣1<t<0时,PE=2+2t

∴﹣t2﹣3t=2+2t

解得:t1t2(舍去)

P

综上所述,点P坐标为(﹣2,3)或()时使△PDE为等腰直角三角形.

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某外地客商慕名来商丘考查,他准备购入山药和草莓进行试销,经市场调查,若购进山药和草莓各2箱共花费170元,购进山药3箱和草莓4箱共花费300元.

1)求购进山药和草莓的单价;

2)若该客商购进了山药和草莓共1000箱,其中山药销售单价为60元,草莓的销售单价为70元.设购进山药x箱,获得总利润为y元.

①求y关于x的函数关系式;

②由于草莓的保鲜期较短,该客商购进草莓箱数不超过山药箱数的,要使销售这批山药和草莓的利润最大,请你帮该客商设计一个进货方案,并求出其所获利润的最大值.

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A.B.C.D.

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A.B.

C.D.

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