【题目】已知:如图,抛物线y=ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A,B(﹣3,0),C(1,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线解析式;
(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积最大?
(3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E,连接DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3 (2)(﹣,) (3)存在,P(﹣2,3)或P(,)
【解析】
(1)用待定系数法求解;(2)过点P作PH⊥x轴于点H,交AB于点F,直线AB解析式为y=x+3,设P(t,﹣t2﹣2t+3)(﹣3<t<0),则F(t,t+3),则PF=﹣t2﹣2t+3﹣(t+3)=﹣t2﹣3t,根据S△PAB=S△PAF+S△PBF写出解析式,再求函数最大值;(3)设P(t,﹣t2﹣2t+3)(﹣3<t<0),则D(t,t+3),PD=﹣t2﹣3t,由抛物线y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,由对称轴为直线x=﹣1,PE∥x轴交抛物线于点E,得yE=yP,即点E、P关于对称轴对称,所以=﹣1,得xE=﹣2﹣xP=﹣2﹣t,故PE=|xE﹣xP|=|﹣2﹣2t|,由△PDE为等腰直角三角形,∠DPE=90°,得PD=PE,再分情况讨论:①当﹣3<t≤﹣1时,PE=﹣2﹣2t;②当﹣1<t<0时,PE=2+2t
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3过点B(﹣3,0),C(1,0)
∴ 解得:
∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3
(2)过点P作PH⊥x轴于点H,交AB于点F
∵x=0时,y=﹣x2﹣2x+3=3
∴A(0,3)
∴直线AB解析式为y=x+3
∵点P在线段AB上方抛物线上
∴设P(t,﹣t2﹣2t+3)(﹣3<t<0)
∴F(t,t+3)
∴PF=﹣t2﹣2t+3﹣(t+3)=﹣t2﹣3t
∴S△PAB=S△PAF+S△PBF=PFOH+PFBH=PFOB=(﹣t2﹣3t)=﹣(t+)2+
∴点P运动到坐标为(﹣,),△PAB面积最大
(3)存在点P使△PDE为等腰直角三角形
设P(t,﹣t2﹣2t+3)(﹣3<t<0),则D(t,t+3)
∴PD=﹣t2﹣2t+3﹣(t+3)=﹣t2﹣3t
∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4
∴对称轴为直线x=﹣1
∵PE∥x轴交抛物线于点E
∴yE=yP,即点E、P关于对称轴对称
∴=﹣1
∴xE=﹣2﹣xP=﹣2﹣t
∴PE=|xE﹣xP|=|﹣2﹣2t|
∵△PDE为等腰直角三角形,∠DPE=90°
∴PD=PE
①当﹣3<t≤﹣1时,PE=﹣2﹣2t
∴﹣t2﹣3t=﹣2﹣2t
解得:t1=1(舍去),t2=﹣2
∴P(﹣2,3)
②当﹣1<t<0时,PE=2+2t
∴﹣t2﹣3t=2+2t
解得:t1=,t2=(舍去)
∴P(,)
综上所述,点P坐标为(﹣2,3)或(,)时使△PDE为等腰直角三角形.
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【题目】商丘市梁园区紧紧围绕十九大报告提出的阶段性目标任务,深化农业供给侧结构性改革,调整种植结构,深入进行了四大结构调整,分别是:水池铺乡的辣椒产业、刘口乡的杂果基地,孙福集乡的山药、莲藕产业,双八镇的草莓产业.目前,这四种产业享誉省内外.
某外地客商慕名来商丘考查,他准备购入山药和草莓进行试销,经市场调查,若购进山药和草莓各2箱共花费170元,购进山药3箱和草莓4箱共花费300元.
(1)求购进山药和草莓的单价;
(2)若该客商购进了山药和草莓共1000箱,其中山药销售单价为60元,草莓的销售单价为70元.设购进山药x箱,获得总利润为y元.
①求y关于x的函数关系式;
②由于草莓的保鲜期较短,该客商购进草莓箱数不超过山药箱数的,要使销售这批山药和草莓的利润最大,请你帮该客商设计一个进货方案,并求出其所获利润的最大值.
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【题目】如图,直线y=k和双曲线y=相交于点P,过点P作PA0垂直于x轴,垂足为A0,x轴上的点A0,A1,A2,…An的横坐标是连续整数,过点A1,A2,…An:分别作x轴的垂线,与双曲线y=(k>0)及直线y=k分别交于点B1,B2,…Bn和点C1,C2,…Cn,则的值为( )
A.B.C.D.
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【题目】在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D.
(1)如图1,点M,N分别在AD,AB上,且∠BMN=90°,当∠AMN=30°,AB=2时,求线段AM的长;
(2)如图2,点E,F分别在AB,AC上,且∠EDF=90°,求证:BE=AF;
(3)如图3,点M在AD的延长线上,点N在AC上,且∠BMN=90°,求证:AB+AN=AM.
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【题目】已知二次函数y=-x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(2,3),(3,0).
(1)则b=,c=;
(2)该二次函数图象与y轴的交点坐标为,顶点坐标为;
(3)在所给坐标系中画出该二次函数的图象;
(4)根据图象,当-3<x<2时,y的取值范围是.
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【题目】如图,矩形的周长是,且比长.若点从点出发,以的速度沿方向匀速运动,同时点从点出发,以的速度沿方向匀速运动,当一个点到达点时,另一个点也随之停止运动.若设运动时间为,的面积为,则与之间的函数图象大致是( )
A.B.
C.D.
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【题目】如图,点O为∠ABC的边上的一点,过点O作OM⊥AB于点,到点的距离等于线段OM的长的所有点组成图形.图形W与射线交于E,F两点(点在点F的左侧).
(1)过点作于点,如果BE=2,,求MH的长;
(2)将射线BC绕点B顺时针旋转得到射线BD,使得∠,判断射线BD与图形公共点的个数,并证明.
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