Question

【题目】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．

（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；

（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；

（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN＝AM．

Answer 1

【答案】（1）﹣；（2）证明见解析；（3）见解析

【解析】

（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到AD=BD=DC=，求出∠MBD=30°，根据勾股定理计算即可；
（2）证明△BDE≌△ADF，根据全等三角形的性质证明；
（3）过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，证明△BME≌△AMN，根据全等三角形的性质得到BE=AN，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论．

解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC，

∴AD＝BD＝DC，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，

∵AB＝2，

∴AD＝BD＝DC＝，

∵∠AMN＝30°，

∴∠BMD＝180°﹣90°﹣30°＝60°，

∴∠MBD＝30°，

∴BM＝2DM，

由勾股定理得，BM2﹣DM2＝BD2，即（2DM）2﹣DM2＝（）2，

解得，DM＝，

∴AM＝AD﹣DM＝﹣；

（2）∵AD⊥BC，∠EDF＝90°，

∴∠BDE＝∠ADF，

在△BDE和△ADF中

∴△BDE≌△ADF（ASA）

∴BE＝AF；

（3）过点M作ME∥BC交AB的延长线于E，

∴∠AME＝90°，

则AE＝AM，∠E＝45°，

∴ME＝MA，

∵∠AME＝90°，∠BMN＝90°，

∴∠BME＝∠AMN，

在△BME和△NMA中

∴△BME≌△AMN（ASA），

∴BE＝AN，

∴AB+AN＝AB+BE＝AE＝AM．