Question

【题目】如图，点O为正方形ABCD的对角线交点，将线段OE绕点O逆时针方向旋转，点E的对应点为点F，连接EF，AE，BF．

（1）请依题意补全图形；

（2）根据补全的图形，猜想并证明直线AE与BF的位置关系．

Answer 1

【答案】（1）画图见解析；

（2）猜想：AE⊥BF.证明见解析.

【解析】（1）根据旋转的性质画出OF，按照题意连接各线段即可得出图形；

（2）猜想：AE⊥BF，延长EA交OF于点H，交BF于点G，根据正方形的性质以及角的计算即可得出OA=OB，∠EOA=∠FOB，由此即可证出△EOA≌△FOB（SAS），进而得出∠OEA=∠OFB，再结合∠EOF=90°以及对顶角相等，即可得出∠OFB+∠FHG=90°，故AE⊥BF.

（1）正确画出图形；(画对OF给1分)

（2）猜想：⊥.

证明：延长交于点，交于点

∵为正方形对角线的交点，

∴，∠＝90°.

∵绕点逆时针旋转90°得到，

∴，∠＝∠＝90°.

∴∠＝∠.

∴△≌△，∴∠ ＝∠.

∵∠+∠=90°，∠=∠，

∴∠+∠=90°，

∴⊥

“点睛”本题考查了图中的旋转变换、正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）画出图形；（2）找出∠OFB+∠FHG=90°，本题属于中档题，难度难度，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的角，再通过角的计算找出直角是关键.