Question

如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点A（-4，-2）和B（a，4）．
（1）求反比例函数的解析式和点B的坐标；
（2）根据图象回答，当x在什么范围内时，一次函数的值大于反比例函数的值？
（3）在X轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形？若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
（4）在反比例函数的图象有一点E，在x轴有一点F，使A、B、E、F组成平行四边形，请直接写出点F的坐标．若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求得反比例函数解析式，然后把点B的坐标代入即可求得a的值；
（2）根据（1）中的点A、B的坐标，观察图象，找到直线落在双曲线上方的部分对应的x的值即可；
（3）存在．这样的点有四个，分AP=AB，BP=AB，AP=BP三种情况考虑，根据等腰三角形的性质或利用两点间的距离公式列出方程，即可求解；
（4）存在．分两种情况进行讨论：①以AB为平行四边形的对角线；②以AB为平行四边形的边．根据平行四边形的性质和两点间的距离公式进行计算，即可求解．

解答：解：（1）设反比例函数的解析式为y=

k

x

（k≠0）．
∵反比例函数图象经过点A（-4，-2），
∴-4=

k

-2

，解得k=8．
∴反比例函数的解析式为y=

8

x

．
∵B（a，4）y=

8

x

在的图象上，
∴4=

8

a

，解得a=2．
∴点B的坐标为B（2，4）；

（2）根据图象得，当x＞2或-4＜x＜0时，一次函数的值大于反比例函数的值；

（3）存在这样的点P．理由如下：
如图1，设点P的坐标是（t，0）．
∵A（-4，-2），B（2，4），
∴AB=6

2

．
①当PB=PA时，△ABP为等腰三角形，此时点P在线段AB的垂直平分线上，易得与P点与原点O重合，则P₁（0，0）；
②当PB=AB时，PB=

(t-2)2+42

=6

2

，解得t=2±

14

，所以P₂（2+2

14

，0），P₃（2-2

14

，0）；
③当PA=AB时，PA=

(t+4)2+22

=6

2

，解得t=-4±2

17

，所以P₄（-4+2

17

，0），P₅（-4-2

17

，0）．
综上，点P的坐标为（0，0），（-4+2

17

，0），（-4-2

17

，0），（2+2

14

，0），（2-2

14

，0）；

（4）设E（x，

8

x

），F（n，0）．分两种情况：
①如图2，当以AB为平行四边形的对角线时，
∵A（-4，-2），B（2，4），
∴AB的中点坐标为（-1，1）．
∵A、B、E、F组成平行四边形，
∴AB与EF互相平分，即EF中点与AB中点重合，
∵F点纵坐标为0，
∴E点纵坐标为2，即

8

x

=2，则x=4，E（4，2），
∴F₁（-6，0）；
②如图3，当以AB为平行四边形的边时，则AB∥EF且AB=EF，

8 x x-n = 4+2 2+4 ( 8 x )2+(x-n)2=72

，
解得

x=- 4 3 n= 14 3

或

x= 4 3 n=- 14 3

，
∴F₂（

14

3

，0），F₃（-

14

3

，0）．
综上，点F的坐标为F₁（-6，0），F₂（

14

3

，0），F₃（-

14

3

，0）．

点评：此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，利用图象判定函数的大小关系，等腰三角形的判定以及平行四边形的判定．注意，解答（3）、（4）题时要分类讨论，以防漏解．