Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知两点A（m，0），B（0，n）（n＞m＞0），点C在第一象限，AB⊥BC，BC=BA，点P在线段OB上，OP=OA，AP的延长线与CB的延长线交于点M，AB与CP交于点N．

（1）点C的坐标为： （用含m，n的式子表示）；

（2）求证：BM=BN；

（3）设点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，求证：D，G关于x轴对称．

Answer 1

【答案】（1）（n，m+n）；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）过C点作CE⊥y轴于点E，根据AAS证明△AOB≌△BEC，根据全等三角形的性质即可得到点C的坐标；

（2）根据全等三角形的性质的性质和等量代换可得∠1=∠2，根据ASA证明△ABM≌△CBN，根据全等三角形的性质即可得到BM=BN；

（3）根据SAS证明△DAH≌△GAH，根据全等三角形的性质即可求解．

（1）解：过C点作CE⊥y轴于点E，

∵CE⊥y轴，

∴∠BEC=90°，

∴∠BEC=∠AOB，

∵AB⊥BC，

∴∠ABC=90°，

∴∠ABO+∠CBE=90°，

∵∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠CBE=∠BAO，

在△AOB与△BEC中，

，

∴△AOB≌△BEC（AAS），

∴CE=OB=n，BE=OA=m，

∴OE=OB+BE=m+n，

∴点C的坐标为（n，m+n）．

故答案为：（n，m+n）；

（2）证明：∵△AOB≌△BEC，

∴BE=OA=OP，CE=BO，

∴PE=OB=CE，

∴∠EPC=45°，

∠APC=90°，

∴∠1=∠2，

在△ABM与△CBN中，

，

∴△ABM≌△CBN（ASA），

∴BM=BN；

（3）证明：∵点C关于直线AB的对称点为D，点C关于直线AP的对称点为G，

∴AD=AC，AG=AC，

∴AD=AG，

∵∠1=∠5，∠1=∠6，

∴∠5=∠6，

在△DAH与△GAH中，

，

∴△DAH≌△GAH（SAS），

∴D，G关于x轴对称．