Question

【题目】（阅读理解）

若A，B，C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离的2倍，我们就称点C是（A，B）的优点．

例如，如图①，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是（A，B）的优点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是（A，B）的优点，但点D是（B，A）的优点．

（知识运用）

如图②，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4．

（1）数　 　所表示的点是（M，N）的优点；

（2）如图③，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点？

Answer 1

【答案】（1）2或10；（2）当t为5秒、10秒或7.5秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点．

【解析】

（1）设所求数为x，根据优点的定义分优点在M、N之间和优点在点N右边，列出方程解方程即可；（2）根据优点的定义可知分三种情况：①P为（A，B）的优点；②P为（B，A）的优点；③B为（A，P）的优点．设点P表示的数为x，根据优点的定义列出方程，进而得出t的值．

解：（1）设所求数为x，

当优点在M、N之间时，由题意得x﹣（﹣2）=2（4﹣x），解得x=2；

当优点在点N右边时，由题意得x﹣（﹣2）=2（x﹣4），解得：x=10；

故答案为：2或10；

（2）设点P表示的数为x，则PA=x+20，PB=40﹣x，AB=40﹣（﹣20）=60，

分三种情况：

①P为（A，B）的优点．

由题意，得PA=2PB，即x﹣（﹣20）=2（40﹣x），

解得x=20，

∴t=（40﹣20）÷4=5（秒）；

②P为（B，A）的优点．

由题意，得PB=2PA，即40﹣x=2（x+20），

解得x=0，

∴t=（40﹣0）÷4=10（秒）；

③B为（A，P）的优点．

由题意，得AB=2PA，即60=2（x+20）

解得x=10，

此时，点P为AB的中点，即A也为（B，P）的优点，

∴t=30÷4=7.5（秒）；

综上可知，当t为5秒、10秒或7.5秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的优点．