Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC=4，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，点P是AB的延长线上一点，且∠PDB=∠A，连接DE，OE．

（1）求证：PD是⊙O的切线．

（2）填空：①当∠P的度数为______时，四边形OBDE是菱形；

②当∠BAC=45°时，△CDE的面积为_________．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①30；②

【解析】

（1）连接OD，由三角形内角和定理可证∠ODB=90°－∠A，进而可求∠ODB+∠PDB=90°，即∠ODP为直角，从而结论得证；

（2）当四边形OBDE为菱形时，△OBD为等边三角形，则∠P为30°；

（3）连接BE，AD，由圆周角定理可证∠ADB=90°，∠AEB=90°，由等腰三角形的性质和三角形的面积公式可知S△DCE=S△BCE，证明△ABE是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AE=BE=，然后根据三角形面积公式求解即可．

解：（1）连接OD，

∵OB=OD， ∠PDB=∠A，

∴∠ODB=∠ABD=(180°-∠A)=90°－∠A=90°－∠PDB，

∴∠ODB+∠PDB=90°，

∴∠ODP=90°，

∵OD是⊙O的半径，

∴PD是⊙O的切线．

（2）①30°，理由如下：

若四边形OBDE为菱形，则OB=BD=DE=EO=OD，

∴△OBD为等边三角形，

∴∠ABD=∠ODB=60°，

∵∠PDO=90°，

∴∠PDB=30°，

∴∠P=30°，

即当∠P为30°时，四边形OBDE为菱形；

②连接BE，AD，如图，

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∠AEB=90°，

∵AB=AC，

∴D为BC中点，

∴S△DCE=S△BCE，

∵∠BAC=45°，

∴AE=BE，△ABE是等腰直角三角形，

∵AB=AC=4，

∴AE=BE=，

∴CE=4-，

∴S△DCE=S△BCE，

=×BE·CE

=×××(4-)

=．