Question

【题目】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=10，点D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形，点F是AB的中点，连接EF．

（1）如图，点D在线段CB上时，

①求证：△AEF≌△ADC；

②连接BE，设线段CD=x，BE=y，求y2﹣x2的值；

（2）当∠DAB=15°时，求△ADE的面积．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②25；（2）为或50+75．．

【解析】

试题(1)、①在直角三角形ABC中，由30°所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长，再由F为AB中点，得到AC=AF=5，确定出三角形ADE为等边三角形，利用等式的性质得到一对角相等，再由AD=AE，利用SAS即可得证；②由全等三角形对应角相等得到∠AEF为直角，EF=CD=x，在三角形AEF中，利用勾股定理即可列出y关于x的函数解析式；(2)、分两种情况考虑：①当点在线段CB上时；②当点在线段CB的延长线上时，分别求出三角形ADE面积即可．

试题解析：(1)、①证明：在Rt△ABC中，∵∠B=30°，AB=10，

∴∠CAB=60°，AC=AB=5，　∵点F是AB的中点，　∴AF=AB=5，

∴AC=AF，　∵△ADE是等边三角形，　∴AD=AE，∠EAD=60°， ∵∠CAB=∠EAD，

即∠CAD+∠DAB=∠FAE+∠DAB，　∴∠CAD=∠FAE， ∴△AEF≌△ADC（SAS）；

②∵△AEF≌△ADC，∴∠AEF=∠C=90°，EF=CD=x，又∵点F是AB的中点，

∴AE=BE=y，　在Rt△AEF中，勾股定理可得：y2=25+x2，　∴y2﹣x2=25

（2）①当点在线段CB上时， 由∠DAB=15°，可得∠CAD=45°，△ADC是等腰直角三角形，

∴AD2=50， △ADE的面积为；

②当点在线段CB的延长线上时， 由∠DAB=15°，可得∠ADB=15°，BD=BA=10，

∴在Rt△ACD中，勾股定理可得AD2=200+100， △ADE的面积为50 +75，

综上所述，△ADE的面积为或50 +75．