Question

【题目】已知：直线AB与直线PQ交于点E，直线CD与直线PQ交于点F，∠PEB+∠QFD＝180°．

（1）如图1，求证：AB∥CD；

（2）如图2，点G为直线PQ上一点，过点G作射线GH∥AB，在∠EFD内过点F作射线FM，∠FGH内过点G作射线GN，∠MFD＝∠NGH，求证：FM∥GN；

（3）如图3，在（2）的条件下，点R为射线FM上一点，点S为射线GN上一点，分别连接RG、RS、RE，射线RT平分∠ERS，∠SGR＝∠SRG，TK∥RG，若∠KTR+∠ERF＝108°，∠ERT＝2∠TRF，∠BER＝40°，求∠NGH的度数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠NGH＝32°．

【解析】

（1）根据邻补角的性质得∠PFD＋∠QFD＝180，再由同角的补角相等得∠PEB＝∠PFD，最后由平行线的判定得结论；

（2）先证GH∥CD，得∠EFD＝∠FGH，再证∠EFM＝∠FGN，便可得结论；

（3）先证明∠TRF＝∠SRF，设∠SRG＝x，由∠KTR＋∠ERF＝108，列出x的方程，求得x，便可得∠ERS，过R作RI∥AB，过点S作SL∥AB，则AB∥IR∥SL∥GH，通过平行线的性质，求得∠RSL，再由三角形外角定理得∠RSN，最后便可求得结果．

（1）∵∠PEB+∠QFD＝180，

又∵∠PFD+∠QFD＝180，

∴∠PEB＝∠PFD，

∴AB∥CD；

（2）∵GH∥AB，AB∥CD

∴GH∥CD，

∴∠EFD＝∠FGH，

∵∠MFD＝∠NGH，

∴∠EFM＝∠FGN，

∴FM∥GN；

（3）∵FM∥GN，

∴∠FRG＝∠SGR，

∵∠SGR＝∠SRG，

∴∠FRG＝∠SRG，

∵射线RT平分∠ERS，

∴∠ERT＝∠TRS，

∵∠ERT＝2∠TRF，

∴∠TRS＝2∠TRF，

∴∠TRF＝∠SRF，

设∠SRG＝∠FRG＝x，则∠TRF＝2x，∠ERT＝∠SRT＝4x，

∵TK∥RG，

∴∠KTR＝∠TRG＝2x+x＝3x，

∵∠KTR+∠ERF＝108，

∴3x+4x+2x＝108，

∴x＝12，

∴∠ERS＝8x＝96，

过R作RI∥AB，过点S作SL∥AB，则AB∥IR∥SL∥GH，

∴∠BER＝∠ERI，∠IRS＝∠RSL，∠NGH＝∠NSL，

∵∠BER＝40，

∴∠ERI＝40，

∴∠RSL＝∠IRS＝∠ERS﹣∠ERI＝96﹣40＝56，

∵∠RSN＝∠SRG+∠SGR＝24，

∴∠NGH＝∠NSL＝∠RSL﹣∠RSN＝56﹣24＝32．