Question

已知：如图，在△ABC中，．
（1）求证：；
（2）如果AC=3，EC=1，求的值．

Answer 1

解：（1）∵，
∴=，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
∴；

（2）∵AC=3，EC=1，
∴AE=AC-EC=2，
∴=2，
∴==2，
∴S_△ACD=2S_△BCD，
∵S_△ABC=S_△ACD+S_△BCD=3S_△BCD，
∴=3．
分析：（1）先根据比例的性质得出=，再由两组对应边的比相等，且夹角相等的两三角形相似，证明出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应角相等得出∠ADE=∠B，则DE∥BC，然后根据平行线分线段成比例定理得出；
（2）先由已知条件得出=2，再根据同高的两个三角形面积之比等于底之比，得出=2，进而求出的值．
点评：本题考查了比例的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，三角形的面积公式，综合性较强，难度中等．（1）中证明出△ADE∽△ABC，是解题的关键，（2）中由同高的两个三角形面积之比等于底之比，得出=2是解题的关键．