Question

如图，AB⊥AD于点A，CD⊥AD于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，且BE⊥CE于点E，EF⊥BC于点F，求证：AE=DE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：证明题

分析：由BE为角平分线，利用角平分线定义得到一对角相等，再由一对直角相等，BE为公共边，利用AAS得到三角形ABE与三角形FBE全等，利用全等三角形的对应边相等得到AE=FE，对应角相等得到∠AEB=∠FEB，利用等角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，CE=CE，利用AAS得到三角形EFC与三角形EDC全等，利用全等三角形对应边相等得到ED=FE，等量代换即可得证．

解答：证明：∵AB⊥AD，CD⊥AD，EF⊥BC，
∴∠A=∠EFB=90°，∠D=∠EFC=90°，
∵∠ABC的平分线BE交AD于点E，
∴∠FBE=∠ABE，
在△EAB和△EFB中，

∠ABE=∠FBE ∠A=∠EFB BE=BE

，
∴△EAB≌△EFB（AAS），
∴AE=EF，∠AEB=∠FEB，
∵∠FEB+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，
∴∠CEF=∠CED，
在△CEF和△CED中，

∠EFC=∠EDC=90° ∠FEC=∠DEC CE=CE

，
∴△CEF≌△CED（AAS），
∴EF=ED，
则AE=DE．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．