Question

如图，已知四边形ABCD为矩形，AD=20cm、AB=10cm．M点从D到A，P点从B到C，两点的速度都为2cm/s；N点从A到B，Q点从C到D，两点的速度都为1cm/s．若四个点同时出发．
（1）判断四边形MNPQ的形状．
（2）四边形MNPQ能为菱形吗？若能，请求出此时运动的时间；若不能，说明理由．

Answer 1

考点：平行四边形的判定与性质,勾股定理,菱形的判定,矩形的性质

专题：

分析：（1）利用矩形的性质和勾股定理判定四边形MNPQ的两组对边相等，则该四边形为平行四边形；
（2）利用菱形是邻边相等的平行四边形来求运动时间．

解答：（1）解：四边形MNPQ是平行四边形． 理由如下：
在矩形ABCD中，AD=BC=20cm，AB=CD=10cm，且∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
设运动时间为t秒，则AN=CQ=t cm，BP=DM=2t cm．
∴BN=DQ=（10-t）cm，CP=AM=（20-2t）cm．
由勾股定理可得，NP=

BP2+BN2

，MQ=

DM2+DQ2

∴NP=MQ．
同理，可得MN=PQ．
∴四边形MNPQ是平行四边形．

（2）能．理由如下：
∵当四边形MNPQ能为菱形时，NP=QP，
∴

BP2+BN2

=

PC2+QC2

，∴

4t2+(10-t)2

=

(20-2t)2+t2

，
解得 t=5．
即四边形MNPQ能为菱形时，运动时间是5 s．

点评：本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理和菱形的判定．在解答（1）题时，也可以利用全等三角形的判定与性质来证得四边形MNPQ的两组对边相等．