Question

【题目】在正方形和等腰直角中，，是的中点，连接、.

（1）如图1，当点在边上时，延长交于点.求证：；

（2）如图2，当点在的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；

（3）如图3，若四边形为菱形，且，为等边三角形，点在的延长线上时，线段、又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3），图详见解析.

【解析】

（1）利用已知条件易证，则有，，从而有，再利用直角三角形的斜边中线的性质即可得出结论；

（2）由已知条件易证，由全等三角形的性质证明，最后利用直角三角形的斜边中线的性质即可得出结论；

（3）由已知条件易证，由全等三角形的性质证明，最后利用等腰三角形的性质和特殊角的三角函数值即可求出答案.

（1）证明：，

又，

(ASA)

，

又，，

在中，

（2）成立，证明如下：

延长到，使，连接、、.

，，

、、

，，

，

在中，

（3）

论证过程中需要的辅助线如图所示

证明：延长GP到点E，使,连接DE，CE,CG,

∵

∴

∴

∵为等边三角形

∴

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∵

∴

又∵

∴

∴

又∵

∴

∵

∴

∴

∴