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【题目】如图,四边形ABCD内接与⊙OAB=ACACBD,垂足为E,点FBD的延长线上,且DF=DC,连接AFCF

1)若∠CAD=α,求∠BAC(用含α的代数式表示);

2)求证:CF是⊙O的切线。

【答案】1)∠BAC=2α;(2)见解析

【解析】

1)根据等腰三角形的性质得出∠ABC=ACB,根据圆心角、弧、弦的关系得到,即可得到∠ABC=ADB,根据三角形内角和定理得到∠ABC=180°-BAC=90°-BAC,∠ADB=90°-CAD,从而得到BAC=CAD,即可证得结论;

2)连接OAOC,设∠CAD=α,∠ABD=β,则可得∠AOC=2(α+β),从而可求出∠ACO=90°-α-β,由圆周角定理可得∠BDC=2α,因为DF=DC,所以∠DCF=DFC=α,可求得∠DCF+DCA+DCO=90°,从而可得结论.

1)∵AB=AC

,∠ABC=ACB

∴∠ABC=ADB,∠ABC=180°-BAC=90°-BAC

BDAC

∴∠ADB=90°-CAD

BAC=CAD

∴∠BAC=2CAD

∵∠CAD=α

∴∠BAC=2α;

2)连接OAOC,设∠CAD=α,∠ABD=β

∴∠ABC=α+β,∠ACD=β

∴∠AOC=2(α+β)

AO=OC

∴∠ACO=

由(1)得∠BAC=2α

∴∠BDC=2α

DF=DC

∴∠DFC=DCF

∴∠DFC+DCF=2α,即∠DCF=α

∵∠OCF=OCA+ACD+DCF=90°-α-β+β+α=90°

OCFC

CF是⊙O的切线.

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