Question

13．已知点A、B的坐标分别为（2，2）、（5，1），试在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形．

Answer 1

分析 当△ABC为直角三角形时，设点C坐标为（x，0），分三种情况：①如果A为直角顶点，根据勾股定理列方程求得x的值；②如果B为直角顶点，那么AB²+BC²=AC²根据勾股定理列方程求得x的值③如果C为直角顶点，C为直角顶点这种情况不存在，于是得到结论．

解答 解：当△ABC为直角三角形时，设点C坐标为（x，0），分三种情况：
①如果A为直角顶点，则AB²+AC²=BC²，
即（2-5）²+（2-1）²+（2-x）²+2²=（5-x）²+1，
解得：x=$\frac{4}{3}$，
②如果B为直角顶点，那么AB²+BC²=AC²，
即（2-5）²+（2-1）²+（5-x）²+1=（2-x）²+2²，
解得x=$\frac{14}{7}$，
③如果C为直角顶点，那么AB²=AC²+BC²，
即（2-5）²+（2-1）²=（2-x）²+2²+（5-x）²+1，
解得x=3或4，
综上可知，使△PAB为直角三角形的点C坐标为（$\frac{4}{3}$，0）或（$\frac{14}{3}$，0）或（3，0）或（4，0）．

点评 本题考查了勾股定理，坐标与图形性质，x轴上点的坐标特征，进行分类讨论是解题的关键．