Question

18．如图，在正方形ABCD的边CD上取一点P，使AP=PC+CB，M是DC的中点．求证：∠MAD=$\frac{1}{2}$∠BAP．

Answer 1

分析 作∠BAC的平分线交BC于M，交DC的延长线于F，由AAS证明△ABE≌△ANE，得出BE=NE，AB=AN，进而由HL证明Rt△PEN≌Rt△PEC，得出NE=CE，再由SAS证明△ABE≌△ADM，得出∠MAD=∠BAE，即可得出结论．

解答 证明：作∠BAP的平分线交BC于E，作EN⊥AP于N，连接EP，如图所示：
∵AF是∠BAP的平分线，EN⊥AP，
∴∠BAE=∠EAP，∠B=∠ANE=90°，
在△ABE和△ANE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠EAP}&{\;}\\{∠B=∠ANE}&{\;}\\{AE=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ANE（AAS），
∴BE=NE，AB=AN，
∵AP=PC+CB=PC+AB，
又AP=AN+NP=AB+NP
∴NP=PC，
在Rt△PEN和Rt△PEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{PE=PE}\\{PN=PC}\end{array}\right.$，
∴Rt△PEN≌Rt△PEC（HL），
∴NE=CE，
∴BE=CE，
∴BE=DM，
在△ABE和△ADM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{∠B=∠D}&{\;}\\{BE=DM}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADM（SAS），
∴∠MAD=∠BAE，
∴∠MAD=$\frac{1}{2}$∠BAP．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．