Question

【题目】已知：如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB边的垂直平分线EF交BD于点E，连AE

（1）比较∠AED与∠ABC的大小关系，并证明你的结论
（2）若△ADE是等腰三角形，求∠CAB的度数．

Answer 1

【答案】
（1）解：∠AED=∠ABC．

证明：∵EF垂直平分AB，

∴EA=EB，

∴∠EAB=∠EBA，

∴∠DEA=∠EBA+∠EAB=2∠EBA，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠EBA，

∴∠DEA=∠ABC；

（2）解：∵△ADE是等腰三角形，

∴∠EAD=∠DEA，

∵∠DEA=∠ABC，

设∠DBC=x°，

∴∠ABD=∠DBC=∠BAE=x°，

∴∠ABC=2x°；

∴∠CAB=∠BAE+∠DAE=3x°，

∵∠ABC+∠CAB=90°，

∴2x°+3x°=90°，

解得：x=18°，

∴∠CAB=3x°=54°．

【解析】①由AB边的垂直平分线EF交BD于点E,根据线段垂直平分线的性质,可得EA=EB,即可证得∠EAB=∠EBA,则可得∠AED=2∠EAB又由BD平分∠ABC交AC于点D,则可得∠ABC=2∠EBA,则可证得结论；

②设∠DBC=ⅹ°由△ADE是等腰三角形,可求得∠EAD=∠AED=∠ABC=2ⅹ°,∠BAE=∠ABE=∠CBD=ⅹ°,则可得方程2ⅹ°+3ⅹ°=90°,继而求得结果.

【考点精析】关于本题考查的角的平分线和三角形的内角和外角，需要了解从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线；三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角才能得出正确答案．