Question

【题目】（1）如图1，AB∥CD，求∠A+∠AEC+∠C的度数．

解：过点E作EF∥AB．

∵EF∥AB（已作）

∴∠A+∠AEF=180°（______）

又∵AB∥CD（已知）

∴EF∥CD（______）

∴∠CEF+∠______=180°（两直线平行，同旁内角互补）

∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C=360°（等式性质）

即∠A+∠AEC+∠C=______．

（2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，AB∥EF，则∠B+∠C+∠D+∠E=______．

（3）根据（1）和（2）的规律，图3中AB∥GF，猜想：∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______．

（4）如图4，AB∥CD，在B，D两点的同一侧有M1，M2，M3，…Mn共n个折点，则∠B+∠M1+∠M2+…+∠Mn+∠D的度数为______（用含n的代数式表示）

Answer 1

【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；平行关系的传递性；C；360°；

（2） 540°； (3) 720； (4) （n+1）×180°

【解析】

（1）如图1，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，根据平行线的性质得到∠A+∠AEF=180°，∠CEF+∠C=180°，即可得到结论；

（2）分别过C，D作CE∥AB，DF∥AB，则CE∥DF∥CD，根据平行线的性质即可得到结论；

（2）分别过C，D，E作CG∥DH∥EI∥AB，则CG∥DH∥EI∥CD，根据平行线的性质即可得到结论；

（4）由（1）（2）（3）知，拐点的个数n与角的和之间的关系是（n+1）180°，于是得到∠B+∠M1+∠M2+…+∠Mn+∠D=（n+1）180°．

解：（1）过点E作EF∥AB．

∵EF∥AB（已作）

∴∠A+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）

又∵AB∥CD（已知）

∴EF∥CD（平行关系的传递性）

∴∠CEF+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）

∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C=360°（等式性质）

即∠A+∠AEC+∠C=360°．

（2）如图2，分别过C，D作CE∥AB，DF∥AB，则CE∥DF∥CD，

∴∠1+∠B=∠2+∠3=∠4+∠E=180°，

∴∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠B+∠2+∠3+∠4+∠E=540°=3×180°；

（3）如图3，分别过C，D，E作CG∥DH∥EI∥AB，则CG∥DH∥EI∥CD，

∴∠B+∠BCG=180°，∠GCD+∠CDH=180°，∠HDE+∠IED=180°，∠IEF+∠JFE=180°，

∴∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=720°；

（4）由（1）（2）（3）知，拐点的个数n与角的和之间的关系是（n+1）180°，

∴∠B+∠M1+∠M2+…+∠Mn+∠D=（n+1）180°．

故答案为：（1）两直线平行，同旁内角互补；平行关系的传递性；C；360°；（2）540°；（3）720°；（4）（n+1）×180°．