Question

4．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+4x-6与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点M．
（1）求△ABC的面积；
（2）若P是x轴上方的抛物线上的一个动点，求点P到直线BC的距离的最大值；
（3）若Q是x轴上方抛物线上的一点（Q，M，C不在同一条直线上），分别过点A，B作直线CQ的垂线，垂足分别为D，E，当△MDE为等腰直角三角形时，求Q点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据解析式y=-$\frac{1}{2}$x²+4x-6求得A、B、C的坐标，从而求得AB、OC的长，然后根据三角形面积公式求得即可；
（2）过P作PD∥y轴，交直线BC于D，作PE⊥BC于E，根据B、C的坐标求得直线BC的解析式为y=x-6，设P（x，-$\frac{1}{2}$x²+4x-6），则D（x，x-6），所以PD=（-$\frac{1}{2}$x²+4x-6）-（x-6）=-$\frac{1}{2}$x²+3x=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+$\frac{9}{2}$（2≤x≤4），从而求得PD的最大值为$\frac{9}{2}$，根据OB=OC=6，得出∠OCB=∠OBC=45°，进而得出∠PDE=45°，所以PE_最大=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PD_最大=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．
（3）分三种情况分别讨论即可求得．

解答 解：（1）令y=0，则，-$\frac{1}{2}$x²+4x-6=0，
解得x₁=2，x₂=6，
∴A（2，0），B（6，0）
∴AB=4，
令x=0，则，y=-6，
∴C（0，-6），
∴OC=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4×6=12；

（2）如图1，过P作PD∥y轴，交直线BC于D，作PE⊥BC于E，
∵B（6，0），C（0，-6），
∴直线BC的解析式为y=x-6，
设P（x，-$\frac{1}{2}$x²+4x-6），则D（x，x-6），
∴PD=（-$\frac{1}{2}$x²+4x-6）-（x-6）=-$\frac{1}{2}$x²+3x=-$\frac{1}{2}$（x-3）²+$\frac{9}{2}$（2≤x≤4），
∴当x=3时，PD有最大值，最大值为$\frac{9}{2}$，
∵PD∥y轴，
∴∠PDE=∠BCO，
∵OB=OC=6，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠PDE=45°，
∴PE_最大=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PD_最大=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．

（3）由抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+4x-6=-$\frac{1}{2}$（x-4）²+2，
∴对称轴x=4，M（4，0），
∵A（2，0），B（6，0）
∴MA=2，
①若DE⊥EM，可知点E、M、B在一条直线上，而点B、M在x轴上，因此点E必然在x轴上，由DE⊥BE，可知点E只能和O重合，即直线QC与y轴重合，
不合题意，故此种情况不存在；
②若DE⊥DM，与①同理可知，此种情况不存在；
③若EM⊥DM，如图2，设直线QC与对称轴交于N点，
∵EM⊥DM，MN⊥AM，
∴∠EMN=∠DMA，
在△ADM和△NEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EMN=∠DMA}\\{EM=DM}\\{∠ADM=∠NEM=135°}\end{array}\right.$
∴△ADM≌△NEM（ASA），
∴MN=MA=2，
∴N（4，2），
设直线QC的解析式为y=kx+b，∵N、C在直线上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=2}\\{b=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴直线QC的解析式为y=2x-6，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-6}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+4x-6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{y}_{1}=-6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=2}\end{array}\right.$
∴Q（4，2），
综上，△MDE能为等腰直角三角形时，此时Q点的坐标为（4，2）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了抛物线和坐标轴的交点，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式以及最值问题，三角形全等的判定和性质，分类讨论的思想是解题的关键．