Question

19．已知三个全等的等边三角形如图1所示放置，其中点B、C、E在同一直线上，
（1）写出两个不同类型的结论；
（2）连接BD，P为BD上的动点（D点除外），DP绕点D逆时针旋转60°到DQ，如图2，连接PC，QE，
①判断CP与QE的大小关系，并说明理由；
②若等边三角形的边长为2，连接AP，在BD上是否存在点P，使AP+CP+DP的值最小，并求最小值．

Answer 1

分析 （1）直接由等边三角形的性质即可得出即可；
（2）①先判断PD=DQ，∠PDQ=60°，进而判断出△DPC≌△DQE即可得出结论；
②先判断出△DPQ是等边三角形，进而得出DP=DQ，再判断出点A、P、Q、E在同一直线上（AE）时，AP+CP+DP的值最小．

解答 解：（1）答案不唯一，合理即可，
AD∥BE，四边形ABCD、ACED是菱形；
四边形ABED是等腰梯形；四边形ABED是轴对称图形；
理由：∵△ABC、△ACD和△CDE是等边三角形，
∴∠ACB=∠CAD=60°，
∴AD∥BE．
∵△ABC、△ACD和△CDE是等边三角形，
∴AB=BC=CD=AD=DE=CE，
∴四边形ABCD、ACED是菱形，四边形ABED是等腰梯形；

（2）①CP=QE；理由：
∵△AEC是等边三角形，
∴CD=DE，∠CDE=60°，
∵DP绕点D逆时针旋转60°到DQ，
∴PD=DQ，∠PDQ=60°，
∴∠PDQ=∠QDE，
∴△DPC≌△DQE
∴CP=QE．

②如图1，连接AP，由①可知CP=QE，
∵DP绕点D逆时针旋转60°到DQ，
∴△DPQ是等边三角形，
∴DP=DQ，
要使AP+CP+DP的值最小，
∴AP+QE+QP的值最小，
即点A、P、Q、E在同一直线上（AE），构建两点之间，线段最短，
过点A作AM⊥BE于点M，可得BM=1，EM=3，AM=$\sqrt{3}$，
所以AE=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
故在BD上存在点P，故AP+CP+DP的值最小，最小值是$2\sqrt{3}$．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，菱形的判定，等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质，解（2）①的关键是判断出∠PDQ=∠QDE，解（2）②的关键是判断出点A、P、Q、E在同一直线上（AE）时，AP+CP+DP的值最小，是一道基础题目．