【题目】已知⊙O中,AC为直径,MA、MB分别切⊙O于点A、B.
(1)如图①,若∠BAC=23°,求∠AMB的大小;
(2)如图②,过点B作BD∥MA,交AC于点E,交⊙O于点D,若BD=MA,求∠AMB的大小.
【答案】
(1)解:(1)连接OB,
∵MA、MB分别切⊙O于A、B,
∴∠OBM=∠OAM=90°,
∵弧BC对的圆周角是∠BAC,圆心角是∠BOC,∠BAC=23°,
∴∠BOC=2∠BAC=46°,
∴∠BOA=180°﹣46°=134°,
∴∠AMB=360°﹣90°﹣90°﹣134°=46°.
(2)连接AD,AB,
∵BD∥AM,DB=AM,
∴四边形BMAD是平行四边形,
∴BM=AD,
∵MA切⊙O于A,
∴AC⊥AM,
∵BD∥AM,
∴BD⊥AC,
∵AC过O,
∴BE=DE,
∴AB=AD=BM,
∵MA、MB分别切⊙O于A、B,
∴MA=MB,
∴BM=MA=AB,
∴△BMA是等边三角形,
∴∠AMB=60°
【解析】(1)根据切线性质求出∠OBM=∠OAM=90°,根据圆周角定理求出∠COB,求出∠BOA,即可求出答案;(2)连接AB、AD,得出平行四边形,推出MB=AD,推出AB=AD,求出等边三角形AMB,即可得出答案.
【考点精析】认真审题,首先需要了解切线的性质定理(切线的性质:1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径).
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【题目】小学时候大家喜欢玩的幻方游戏,老师稍加创新改成了“幻圆”游戏,现在将﹣1、2、﹣3、4、﹣5、6、﹣7、8分别填入图中的圆圈内,使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等,老师已经帮助同学们完成了部分填空,则图中a+b的值为( )
A. ﹣6或﹣3 B. ﹣8或1 C. ﹣1或﹣4 D. 1或﹣1
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【题目】如图1,将两根笔直的细木条用图钉固定并平行摆放,将一根橡皮筋拉直后用图有分别周定在
上,橡皮筋的两端点分别记为点
,点
.
(1)图1中,点在
上,若
,则
___________
;
(2)为橡皮筋上一点,,用橡皮筋的弹性拉动橡皮筋,使
三点不在同一直线,后用图固定点
.
①如图2,若点在两根细木条所在直线之间,且
,试判断线段
与
所在直线的位置关系,并说明理由;
②如图3,若点在两根细木条所在直线的同侧,且
,
,试求
的度数;
(3)如图4,为AB上两点,拉动橡皮筋并固定,若
,则
____________
.
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【题目】在平行四边形ABCD中,点E在AD边上,连接BE、CE,EB平分∠AEC .
(1)如图1,判断△BCE的形状,并说明理由;
(2)如图2,若∠A=90°,BC=5,AE=1,求线段BE的长.
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【题目】某日王老师佩戴运动手环进行快走锻炼,两次锻炼后数据如表.与第一次锻炼相比,王老师第二次锻炼步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍.设王老师第二次锻炼时平均步长减少的百分率为x(0<x<0.5).
项目 | 第一次锻炼 | 第二次锻炼 |
步数(步) | 10000 | ① |
平均步长(米/步) | 0.6 | ② |
距离(米) | 6000 | 7020 |
注:步数×平均步长=距离.
(1)根据题意完成表格填空;
(2)求x;
(3)王老师发现好友中步数排名第一为24000步,因此在两次锻炼结束后又走了500米,使得总步数恰好为24000步,求王老师这500米的平均步长.
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【题目】已知:如图①,在平面直角坐标系xOy中,A(0,5),C( ,0),AOCD为矩形,AE垂直于对角线OD于E,点F是点E关于y轴的对称点,连AF、OF.
(1)求AF和OF的长;
(2)如图②,将△OAF绕点O顺时针旋转一个角α(0°<α<180°),记旋转中的△OAF为△OA′F′,在旋转过程中,设A′F′所在的直线与线段AD交于点P,与线段OD交于点Q,是否存在这样的P、Q两点,使△DPQ为等腰三角形?若存在,求出此时点P坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与∠ABC平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,则∠CAP的度数是( )
A. 30°; B. 40°; C. 50°; D. 60°.
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【题目】甲、乙两家超市同价销售同一款可拆分式驱蚊器,1套驱蚊器由1个加热器和1瓶电热蚊香液组成.电热蚊香液作为易耗品可单独购买,1瓶电热蚊香液的售价是1套驱蚊器的.已知电热蚊香液的利润率为20%,整套驱蚊器的利润率为25%.张阿姨从甲超市买了1套这样的驱蚊器,并另外买了4瓶电热蚊香液,超市从中共获利10元.
(1)求1套驱蚊器和1瓶电热蚊香液的售价;
(2)为了促进该款驱蚊器的销售,甲超市打8.5折销售,而乙超市采用的销售方法是顾客每买1套驱蚊器送1瓶电热蚊香液.在这段促销期间,甲超市销售2000套驱蚊器,而乙超市在驱蚊器销售上获得的利润不低于甲超市的1.2倍.问乙超市至少销售多少套驱蚊器?
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