Question

【题目】已知：如图①，在平面直角坐标系xOy中，A（0，5），C（ ，0），AOCD为矩形，AE垂直于对角线OD于E，点F是点E关于y轴的对称点，连AF、OF．

（1）求AF和OF的长；
（2）如图②，将△OAF绕点O顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△OAF为△OA′F′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与线段AD交于点P，与线段OD交于点Q，是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时点P坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图①

∵OA=5，AD=OC= ，

由勾股定理可求．OD= ，

∵AE×OD=AO×AD，

∴AE=4，

∴OE= =3，

∵点F是点E关于y轴的对称点，

∴AF=AE=4，OF=OE=3

（2）解：如图②

若PD=PQ，

易得∠1=∠2=∠3，

∵∠1=∠A′，

∴∠3=∠A′，

∴OQ=OA′=5，

∴DQ= ，

过点P作PH⊥DQ，

∴ ，

∵cos∠1= ，

∴DP= ，

∴AP= ，

∴此时点P的坐标为（ ，5）；

如图③

∵点P在线段AD上，

∴∠1＞∠PDQ，

∴QP，QD不会相等；

如图③，

若DP=DQ，

易得，∠1=∠2=∠3=∠4，

∵∠3=∠5+∠A′，∠A′=∠COD，

∴∠4=∠A′OQ，

∴A′Q=A′O=5，

∴F′Q=5﹣4=1，

∴OQ= ，

∴DP=DQ= ﹣ ，

∴AP=AD﹣DP= ﹣ ，

∴此时点P的坐标为：（ ﹣ ，5）

【解析】（1）运用勾股定理和面积相等法结合轴对称性质即可求解；（2）画出图形，根据PQ=PD，PD=DQ结合平行线的性质，对顶角相等和角的等量代换，运用勾股定理即可求解．
【考点精析】掌握相似三角形的应用是解答本题的根本，需要知道测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．