Question

如图，等腰直角三角形ABC中，AC=BC，将△ABC绕斜边AB的中点O旋转至△DEF的位置，DF交AB于点P，DE交BC于点Q．请猜想OQ与OP有怎样的数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

分析：根据等腰直角三角形的性质得到∠A=∠B=45°，而OA=OB，再根据旋转的性质得DO=AO，∠D=∠A=45°，则OB=OD，∠B=∠D，易证△OBQ≌△ODP，根据全等三角形的性质即可得到OQ=OP．

解答：解：OQ=OP．  
证明如下：
∵等腰直角三角形ABC中，AC=BC，AB的中点为O，
∴AO=BO，∠A=∠B=45°，
又∵△DEF为△ABC绕O点旋转所得，
∴DO=AO，∠D=∠A=45°，
∴OB=OD，∠B=∠D，
在△OBQ和△ODP中

∠B=∠D OB=OD ∠BOQ=∠DOP

∴△OBQ≌△ODP，
∴OQ=OP．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．