Question

11．如图，已知AD∥BC，AB⊥AD，点E、F分别在射线AD、BC上，若点E与点B关于AC对称，点E点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则下列结论错误的是（　　）

• A． tan∠ADB=$\sqrt{2}$-1
• B． ∠DEF=67.5°
• C． ∠AGB=∠BEF
• D． cos∠AGB=$\frac{\sqrt{6}}{4}$

Answer 1

分析 连接CE，设EF与BD相交于点O，根据轴对称性可得AB=AE，并设为1，利用勾股定理列式求出BE，再根据翻折的性质可得DE=BF=BE，再求出BC=1，然后对各选项分析判断利用排除法求解．

解答 解：如图，连接CE，设EF与BD相交于点O，
由轴对称性得，AB=AE，设为1，
则BE=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵点E与点F关于BD对称，
∴DE=BF=BE=$\sqrt{2}$，
∴AD=1+$\sqrt{2}$，
∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE，
∴四边形ABCE是正方形，
∴BC=AB=1，
∴tan∠ADB=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$-1，故A错误；
∠AEB+22°=45°+22°=67°，
∵BE=BF，∠EBF=∠AEB=45°，
∴∠BFE=$\frac{180°-45°}{2}$=67.5°，
∴∠DEF=∠BFE=67.5°，故B错误；
∵AB=AE=BC=1，AD∥BC，AB⊥AD，
∴四边形ABCE是正方形，
∴∠BAC=∠CBE=45°，
∵点E与点F关于BD对称，
∴EF⊥BD，
∵AB⊥AD，
∴∠EOD=∠BAD=90°，
∵∠ADB=∠ODE，
∴∠ABG=∠OED，
∵AD∥BC，
∴∠OED=∠BFE，
∴∠ABG=∠BFE，
∴∠AGB=∠BEF，故C错误；
由勾股定理得，OE²=BE²-BO²=（$\sqrt{2}$）²-（$\frac{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}{2}$）²=$\frac{4-2\sqrt{2}}{4}$，
∴OE=$\frac{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}{2}$，
∵∠EBG+∠AGB=90°，
∠EBG+∠BEF=90°，
∴∠AGB=∠BEF，
又∵∠BEF=∠DEF
∴cos∠AGB=$\frac{OE}{DE}$=$\frac{\frac{\sqrt{4-2\sqrt{2}}}{2}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$，故D正确．
故选：D．

点评 本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，设出边长为1可使求解过程更容易理解．