Question

3．如图，在四边形ABCD中，∠A=120°，∠C=60°，AB=2，AD=DC=4，则BC边的长为6．

Answer 1

分析 连结BD，作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，根据三角函数可求AM=2，DM=2$\sqrt{3}$，DN=2$\sqrt{3}$，NC=2，通过HL证明Rt△BDM≌Rt△BDN，根据全等三角形的性质可得BN=BM，再根据线段的和差关系即可求解．

解答 解：连结BD，作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，
∵∠BAD=120°，
∴∠MAD=180°-120°=60°，
∵AD=4，
∴AM=2，DM=2$\sqrt{3}$，
∵∠C=60°，
∴DN=2$\sqrt{3}$，NC=2，
在Rt△BDM与Rt△BDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=DN}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴Rt△BDM≌Rt△BDN（HL），
∴BN=BM=2+2=4，
∴BC=BN+NC=6．
故答案为：6．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角函数，关键是作出辅助线，通过HL证明Rt△BDM≌Rt△BDN．