Question

在直角坐标系中，已知一条直线经过A（2，0），B（0，2），C（-1，m），连接CO，求∠ACO的正弦值．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：计算题

分析：设直线AB解析式为y=kx+b，将A与B坐标代入求出k与b的值，确定出直线AB解析式，进而求出C坐标，过C作CH⊥x轴于点H，过O作OP⊥AB于点P，得到CH与OH的长，利用勾股定理求出OC的长，由OA=OB，利用勾股定理求出AB的长，再利用三线合一得到P为AB中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OP的长，在直角三角形COP中，利用锐角三角函数定义即可求出sin∠ACO的值．

解答：解：如图，
设直线AB解析式为y=kx+b，
将点A（2，0），B（0，2）代入得：

2k+b=0 b=2

，
解得：k=-1，b=2，
∴直线AB解析式为y=-x+2，
∴当x=-1时，y=3，即C（-1，3），
过C作CH⊥x轴于点H，过O作OP⊥AB于点P，
∴CH=3，OH=1，
在Rt△OCH中，OC=

CH2+OH2

=

10

，
∵A（2，0），B（0，2），
∴OA=OB=2，AB=

22+22

=2

2

，
∵OA=OB，OP⊥AB，
∴OP=

1

2

AB=

2

，
在Rt△COP中，sin∠ACO=

OP

OC

=

2

10

=

5

5

．

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．