Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．

（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：BC= AB；
（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=8，求MNMC的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵OA=OC，

∴∠A=∠ACO．

又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，

∴∠A=∠ACO=∠PCB．

又∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACO+∠OCB=90°．

∴∠PCB+∠OCB=90°．

即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半径．

∴PC是⊙O的切线．

（2）证明：∵AC=PC，

∴∠A=∠P，

∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．

又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，

∴∠COB=∠CBO，

∴BC=OC．

∴BC= AB

（3）解：连接MA，MB，

∵点M是 的中点，

∴ = ，

∴∠ACM=∠BCM．

∵∠ACM=∠ABM，

∴∠BCM=∠ABM．

∵∠BMN=∠BMC，

∴△MBN∽△MCB．

∴ = ．

∴BM2=MNMC．

又∵AB是⊙O的直径， = ，

∴∠AMB=90°，AM=BM．

∵AB=8，

∴BM=4 ．

∴MNMC=BM2=32．

【解析】（1）利用直径上的圆周角是直角和圆的定义易证；
（2）利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质来证明；
（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM，从而可证得△MBN∽△MCB．再利用相似三角形的对应边成比例得到BM2=MNMC．在Rt△ABM中求出BM，即可得到结论.
【考点精析】掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．